#16 Простые дроби

Простой дробью (короче, дробью ) называется часть единицы или несколько равных частей (долей) единицы. Число, показывающее, на сколько долей
разделена единица, называется знаменателем дроби; число, показывающее количество взятых долей, - числителем дроби.

3апись: $\dfrac{3}{5}$ или $3/5$ (три пятых), здесь $3$ - чис­литель, $5$ - знаменатель.

Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше единицы и называется правильной; $\dfrac{3}{5}$ - пра­вильная дробь. Если числитель равен знаменателю, дробь равна единице. Если числитель больше знаменателя, дробь больше единицы. В обоих последних случаях дробь называется неправильной. Например, $\dfrac{5}{5}$, $\dfrac{17}{5}$ - неправильные дроби. Чтобы выделить наибольшее целое число, содержащееся в неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаме­натель. Если деление выполняется без остатка, то взя­тая неправильная дробь равна частному. Например, $ \dfrac{45}{5} = 45 : 5 = 9$. Если деление выполняется с остатком, то (неполное) частное дает искомое целое число, оста­ток же становится числителем дробной части; знаме­натель дробной части остается прежним.

Пример. Дана дробь $\dfrac{48}{5}$. Делим $48$ на $5$. Полу­чаем частное $9$ и остаток $3$; $\dfrac{48}{5} = 9 \dfrac{3}{5} $.

Число, содержащее целую и дробную части ( например, $9 \dfrac{3}{5}$) , называется смешанным. Дробная часть смешанного числа может быть и неправильной дробью, например $7 \dfrac{13}{5} $; тогда можно из дробной части выделить наибольшее целое число (см. выше) и представить смешанное число в таком виде, чтобы дробная часть стала правильной дробью (или вовсе исчезла).

Например, $ 7 \dfrac{13}{5} = 7 + \dfrac{13}{5} = 7 + 2 \dfrac{3}{5} = 9 \dfrac{3}{5}$. К подобному виду обычно и приводят смешанные числа.
Часто приходится (например, при умножении дробей) решать вопрос обратного характера: дается сме­шанное число, требуется представить его в виде дроби (неправильной). Для этого нужно:

$1$) целое число, входящее в смешанное, умножить на знаменатель дробной части;
$2$) к произведению прибавить числитель. Полу­ченное число будет числителем искомой дроби, знаме­натель остается прежний.

Пример. Дано смешанное число $ 9 \dfrac{3}{5}$.
$$
1) \ 9 \cdot 5 = 45; \ 2) \ 45 + 3 = 48; \ 3) \ 9 \dfrac{3}{5} = \dfrac{48}{5} .
$$