§13 Алгебраические дроби

Алгебраической дробью называется выражение вида $\dfrac{A}{B}$, где буквы $A$ и $B$ обозначают любые буквенные выражения, а черта между ними есть знак деления. Делимое $A$ называют числителем, делитель $B$ - знаменателем. Дроби, рассматриваемые в арифметике, представляют частный случай алгебраической дроби (числитель и знаменатель - целые положительные числа). Действия с алгебраическими дробями совершаются по тем же правилам, что действия с дробями в арифметике (см. Арифметика §§16-22). Ввиду этого мы здесь ограничимся лишь несколькими типичными примерами.

Сокращение дроби

Пример 1. Дробь $\dfrac{15a^2x^4}{21a^5x^3}$ можно сократить на $3a^2x^3: \dfrac{15a^2x^4}{21a^5x^3} = dfrac{5x}{7a^3}$

Пример 2. Дробь $\dfrac{2a^2 - ab - 3b^2}{2a^2 - 5ab + 3b^2}$ можно сократить на $2a - 3b$
Чтобы обнаружить это, нужно разложить числитель и знаменатель на множители (см. §12, случай 3):
$$\dfrac{2a^2 - ab - 3b^2}{2a^2 - 5ab + 3b^2} = \dfrac{(2a - 3b)(a + b)}{(2a - 3b)(a - b)}.$$

Сложение и вычитание дробей

Пример 1. Чтобы сложить дроби $\dfrac{m}{a^2b} + \dfrac{n}{ab^2}$, принимаем за общий знаменатель $a^2b^2$: дополнительные множители: $b$ - для первого слагаемого, $a$ - для второго:
$$\dfrac{m}{a^2b} + \dfrac{n}{ab^2} = \dfrac{mb + na}{a^2b^2}.$$
Пример 2.
$$\dfrac{a - b}{2a^2 = ab - 3b^2} - \dfrac{a +b}{2a^2 - 5ab + 3b^2} =\\
= \dfrac{a -b}{(2a -3b)(a + b)} - \dfrac{a + b}{(2a - 3b)(a - b)} = \\
= \dfrac{(a - b)^2 - (a +b)^2}{(2a - 3b)(a + b)(a - b)} = \dfrac{-4ab}{(2a - 3b)(a^2 - b^2)}.$$
Замечание. Лишь при специальном подборе примера многочисленны знаменатели дробей будут иметь общие множители. Вообще же это случай крайне редкий. Если же эти общие множители существуют, нахождение их требует довольно много времени. Для развития алгебраических навыков эти поиски полезны, поэтому внимание, уделяемое им в учебной литературе, вполне оправдывается. Но практическая польза их невелика, и часто гораздо лучше, не тратя времени на разыскивание простейшего общего знаменателя, просто взять за общий знаменатель произведение данных знаменателей.

Умножение и деление дробей

Пример 1. $\dfrac{4a^2b}{3c^2d}\cdot\dfrac{2c^3d^2}{ab^3} = \dfrac{8acd}{3b^2}.$ Сокращение можно производить либо до перемножения числителей и знаменателей, либо после.
Пример 2.
$$\dfrac{x^2 - a^2}{x^2 - bx + cx - bc}:\dfrac{x^2 - ax - cx + zc}{x^2 - b^2} = \\
= \dfrac{(x^2 - a^2)(x^2 - b^2)}{(x - b)(x + c)(x - a)(x - c)} = \dfrac{(x + a)(x + b)}{(x + c)(x - c)} = \dfrac{(x + a)(x + b)}{x^2 - c^2}.$$