#18 Сравнение дробей; приведение к общему знаменателю

Из двух дробей с одинаковым числителем больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Например, $\dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{4} , \dfrac{5}{7} > \dfrac{5}{9}$. Из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та дробь, у которой числитель больше.
Например, $\dfrac{5}{8} > \dfrac{3}{8}$.

Чтобы сравнить две дроби, у которых различны и числитель и знаменатель, нужно одну или обе дроби
преобразовать так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Для этого можно, например, первую дробь расширить на знаменатель второй , а вторую - на знаменатель первой.

Пример. Сравним дроби $\dfrac{3}{8}$ и $\dfrac{7}{12}$. Расширяем первую дробь на $12$, а вторую на $8$; имеем:$ \dfrac{3}{8} = \dfrac{36}{96} $;$ \dfrac{7}{12} = \dfrac{56}{96} $. Теперь знаменатели одинаковы. Сравнив числители, видим, что вторая дробь больше первой.

Примененное преобразование дробей называется приведением их к общему знаменателю.

Чтобы привести к общему знаменателю несколько дробей, можно каждую из них расширить на произведение знаменателей остальных. Например, чтобы привести к общему знаменателю дроби $\dfrac{3}{8}$, $\dfrac{5}{6}$, $\dfrac{2}{5}$, расширим первую на $5 \cdot 6 = 30$, вторую на $8 \cdot 5 = 40$; третью на $8 \cdot 6 = 48$. Получим $\dfrac{3}{8} = \dfrac{90}{240}$; $\dfrac{5}{6}=\dfrac{200}{240}$; $\dfrac{2}{5}=\dfrac{96}{240}$. Общим знаменателем будет произведение знаменателей всех данных дробей ($8 \cdot 6 \cdot 5 = 240$).

Этот способ приведения к общему знаменателю - самый простой и во многих случаях самый практичный. Единственное его неудобство состоит в том, что общий знаменатель может оказаться довольно большим, тогда как можно выбрать его меньшим. Именно, за общий знаменатель можно взять любое общее кратное (в частности, НОК) данных знаменателей. Тогда нужно расширить каждую дробь на частное, получаемое от деления общего кратного на знаменатель взятой дроби (это частное называется дополнительным множителем).

Пример. Даны дроби $\dfrac{3}{8}$, $\dfrac{5}{6}$, $\dfrac{2}{5}$. НОК знаменателей $8$, $6$, $5$ есть $120$. Дополнительные множители: $120 : 8 = 15$; $120 : 6 = 20$; $120 : 5 = 24$. Расширяем первую дробь на $15$, вторую на $20$, третью на $24$. Получаем:
$$
\dfrac{3}{8}=\dfrac{45}{120}; \ \dfrac{5}{6}=\dfrac{100}{120}; \ \dfrac{2}{5}=\dfrac{48}{120}.
$$