§9 Деление сумм и многочленов

Частное от деления суммы двух или нескольких выражений на какое-либо выражение равно сумме частных, полученных от деления каждого слагаемого на взятое выражение:
$$\dfrac{a + b + c}{x} = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x};$$
$a, b, c, x $— любые выражения; если все они — одночлены, т.е. если выполняется деление многочлена на одночлен, то каждое из частных $\dfrac{a}{x}, \dfrac{b}{x}, \dfrac{c}{x}$ бывает возможно упростить (6
$\qquad$ Пример. $\dfrac{3a^2b + 11ab^2}{ab} = \dfrac{3a^2b}{ab} + \dfrac{11ab^2}{ab} = 3a + 11b.$

Если $a, b, c $ — одночлены, а $x$ — многочлен, т.е. если выполняется деление многочлена на многочлен, то частное, вообще говоря, нельзя представить в виде многочлена (подобно тому, как частное от деления целого числа на целое не всегда можно представить в виде целого числа). Иначе говоря, не всегда можно найти такой многочлен, стоящий в делителе, дал бы многочлен, стоящий в делимом.

$\qquad$ Пример. Частное $\dfrac{a^2 + x^2}{a + x} $ нельзя представить в виде многочлена; частное $\dfrac{a^2 - x^2}{a + x} $ можно представить в виде многочлена: $\dfrac{a^2 + x^2}{a + x} = a - x.$

Деление многочлена на многочлен в общем случае, можно выполнять с остатком, подобно тому как \то делается при делении целых чисел. Необходимо, однако установить, что такое деление многочленов с остатком. Если мы делим целое положительное число, например $35$, на целое положительное число, например $4$, то получаем $8$ и $3$ в остатке. Числа $8$ и $3$ обладают тем свойством, что $4 \cdot 8 + 3 =35$, т.е. если $p – $ делимое, $q$ – делитель, $m$ – частное, а $n$ – остаток, то $mq + n = p$. Но этого недостаточно для полного определения частного и остатка; так, в нашем примере ($p = 35,~ q = 4$) таким же свойством обладают также числа $m = 6, ~n =11; ~m = 4; ~n =19.$ Нужно ещё добавить, что число $n$ должно быть меньше числа q$. Это добавление нельзя буквально перенести на случай деления многочленов, ибо при одних значениях букв одно и то же выражение может быть больше, а при других – меньше, чем другое выражение. Упомянутое добавление должно быть видоизменено. В каждом из многочленов одна какая-нибудь из входящих в его члены букв принимается за главную; наивысшая степень этой буквы называется степенью многочлена. Тогда деление с остатком определяется так:

Разделить многочлен $P$ на многочлен $Q$ – значит найти многочлены $M$ (частное) и $N$ (остаток), удовлетворяющие двум требованиям: 1) должно соблюдаться равенство $MQ + N = P$ и ;2); степень многочлена $N$ должна быть ниже степени многочлена $Q$.

Замечание. Остаток $N$ может вовсе не содержать главной буквы; тогда говорят, что $N$ имеет нулевую степень.

Многочлены $M$ и $N$, удовлетворяющие этим требованиям, всегда можно найти и притом единственным образом при данном выборе главной буквы. Процесс нахождения частного $M$ и остатка $N$ аналогичен процессу деления (с остатком) многозначного числа на многозначное. Роль цифр высшего и низшего разрядов играют члены, содержащие главную букву в высшей и низшей степенях. Перед делением члены делимого и делителя располагаются в порядке убывания степеней главной буквы.

$\qquad$ Запись деления:

1. Делим первый член делимого $8a^3$ на первый член делителя $4a^2$; результат $2a$ есть первый член частного.
2. Помножаем полученный член на делитель $4a^2 - 2a + 1;$ результат $8a^3 - 4a^2 + 2a$ подписываем под делимым, подобный член под подобным.
3. Вычитаем члены результата из соответствующих членов делимого; сносим следующий по порядку член делимого; получаем $20a^2 - 4a + 4.$
4. Первый член остатка $20a^2$ делим на первый член делимого; результат $5$ есть второй член частного.
5. Помножаем полученный второй член частного на делитель, результат $20a^2 - 10a + 5$ подписываем под первым остатком.
6. Вычитаем члены этого результата из соответствующих членов первого остатка; получаем второй остаток $6a - 1$. Степень его меньше степени делителя. Деление закончено; частное $2a + 5$, остаток $6a -1$.