§17 Общие сведения об уравнениях

Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком равенства ($\,=\,$), образуют равенство (числовое или буквенное).

Всякое верное числовое равенство, а также всякое буквенное равенство, справедливое при всех числовых значениях входящих в него букв, называется тождеством.

Примеры.

1. Числовое равенство $5\cdot 3 + 1 = 20 - 4$ есть тождество.
2. Буквенное равенство $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ есть тождество, так как при всех числовых значениях $a$ и $b$ правая и левая части дают одно и то же число.

Равенство, содержащее неизвестные буквенные величины и не являющееся тождеством, называется уравнением¹. Уравнение называется буквенным, если все или некоторые известные величины, входящие в него, выражены буквами; в противном случае уравнение называется числовым.

Какие из букв, входящие в уравнение, представляют известные, а какие — неизвестные величины, должно быть отдельно указано. Обычно для этого неизвестные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита $x, y, z, u, v, w$. По числу неизвестных уравнения разделяются на уравнения с одним, двумя, тремя и т. д. неизвестными.

Решить числовое уравнение — значит найти такие числовые значения входящих в него неизвестных, которые обратят уравнение в тождество. Эти значения называются корнями уравнения.

Решить буквенное уравнение — значит найти такие выражения неизвестных через входящие в уравнения известные величины, которые, будучи подставлены в уравнедае вместо соответствующих неизвестных, обратят уравнение в тождество. Найденные выражения называются корнями уравнения.

Пример 1.
$\dfrac{2}{3 + x} = \dfrac{1}{2}x$ – числовое уравнение с одним неизвестным $x$. При $x = 1$ оба выражения $\dfrac{2}{3 + x}$ и $\dfrac{1}{2}x$ образуют тождество, т. е. дают одно и то же число; $x = 1$ есть корень уравнения.

Пример 2.
$ax + b = cx + d$ — буквенное уравнение с одним неизвестным $x$ при $x = \dfrac{d - b}{a - c}$ оно обращается в тождество, так как выражения $a\dfrac{d - b}{a - c} + b$ и $c\dfrac{d - b}{a - c}$ при всех значениях букв $a, b, c, d$ дают одинаковые между собой числа $\left(\text{если преобразовать эти выражения, то каждое из них можно представить в виде } \dfrac{ad - bc}{a - c}\right)$. Значение $x = \dfrac{d - b}{a - c}$ есть корень уравнения.

Пример 3.
$3x + 4y = 11$ — числовое уравнение с двумя неизвестными. При $x = 1, y = 2$ оно обращается в тождество $3\cdot 1 + 4\cdot 2 = 11$. Значения $x = 1,\quad y = 2$ — корни уравнения; $x = —3,\quad y = 5$ — также корни уравнения. Значения $х = 2, у = 1\dfrac{1}{4}$ также корни уравнения.

Уравнение имеет бесчисленное множество корней, однако оно — не тождество, так как, например, при $x = 2, \quad y = 3$ правая и левая его части не равны между собой.

Пример 4.
$2x + 3 = 2(x + 1)$ — числовое уравнение с одним неизвестным. Оно не обращается в тождество ни при каких значениях $x$ (правую часть можно представить в виде $2x + 2$: чему бы ни равнялось $2x$, прибавление к $2x$ числа $2$ не может дать того же числа, что и прибавление к $2x$ числа $3$). Это уравнение не имеет корней.

¹Это определение лишь по форме отличается от принятого в нынешних учебниках. Преимущество его я вижу в том, что оно позволяет сразу же провести четкое различие между решением числового и решением буквенного уравнения, а это важно и с научной и с педагогической точки зрения.

Замечу, что мне кажется более целесообразным определять уравнение просто как «равенство, содержащее неизвестные величины», не исключая случая, когда это равенство является тождеством. Ведь, имея буквенное равенство, мы в общем случае не знаем заранее, тождество оно или нет. Чтобы узнать это, нужно обычно пользоваться теми же приемами, которые применяются при решении уравнений. Поэтому естественно считать буквенное тождество частным случаем уравнения. Так прежде и делали; существовал даже термин «тождественное уравнение». Думаю, что к этому обычаю следовало бы вернуться