$('#order').data('order', order);
// должно ли сменится отображаемое значение в HTML или это только виртуальная установка?
Здесь устанавливается только "виртуальное" значение. И контролируется самим JQuery, совместимости JS dataset при таком подходе не наблюдается в текущей версии.
Ответ: Д.