Теорема. Пусть $\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}$ --- несократимая дробь, и $p$ -- простой делитель числа $b$. И пусть $n$ -- основание позиционной системы счисления. Если $n$ не делится на $p$, то $\frac{a}{b}$ представляется в $n$-ричной системе счисления бесконечной дробью. Доказательство. Предположим противное: $\frac{a}{b}$ представляется $n$-ричной конечной дробью:
$$
\frac{a}{b}=\frac{c_1}{n^{k_1}}+\frac{c_2}{n^{k_2}}+\ \dots \ + \frac{c_m}{n^{k_m}}.
$$
Приведём правую часть к общему знаменателю:
$$