fkn+antitotal

Удалить пробелы в начале и конце строки можно так:

trim ($str);

Чтобы удалить все тэги из строки используем функцию:

strip_tags($str);

В латех эта ошибка может быть вызвана использованием русской буквы (символа) в формуле (математическом режиме - то есть между символами доллара), например мы могли скопировать откуда-то текст и визуально даже не отличаете, например "икс" от русской "ха"

Непустое множество $M$ называется моноидом, если выполняются
следующие условия:

1. на $M$ задана ассоциативная бинарная операция $*$;
2. $\exists j\in M\,:\,\,a*j=j*a=a\,$ для $\,\forall a\in M$.

Бинарная операция - это математическая операция, которая "принимает" два объекта и "возвращает" один объект, который называют результатом операции.

Обычно бинарная операция обозначается каким-либо символом или даже группой символов (словом), например $\Large *$
Если принять последнее обозначение, то действие этой операции на два аргумента (объекта) можно записывать разными способами, например:
$\Large a * b$
или же вариант, когда аргументы "принимаются" операцией (функцией) в скобках:
$\Large *(a, b)$

Здесь соберём несколько инструкций, по созданию в латех разного рода ссылок:

1. Latex ссылки внутри pdf документа
2. Ссылки на интернет-страницы, WEB сайты - гиперссылки - пример

Заметки этой страницы выполнены на основе материалов:

Для начала в преамбуле документа подключите такой вот пакет:

 % подключаем hyperref (для ссылок внутри  pdf)
\usepackage[unicode, pdftex]{hyperref}

Затем в каком-то месте создаём якорь - то есть "точку" (в реальности - "строку") к которой прокрутиться документ при нажатии на ссылку, создаётся якорь так:

Правым обратным элементом некоторого элемента $\Large x$ называют такой элемент $\Large y$, который в композиции с $\Large x$, находясь справа, "даёт" единицу, то есть:

$\Large x * y = j$

Кстати, эта единица будет именно "правой" (мы обозначали такую единицу - единичный элемент буквой j), так как:
$\Large x * (x*y) = x * j = x$

Правая единица - это такой элемент $\Large j$ из множества $\Large X$, который в композиции с любым элементом $\Large a$ из данного множества $\Large X$, этот (любой) элемент $a$ не меняет, то есть:

$\Large a*j=a\,\,\,$ для $\Large \,\,\,\forall a\in X$

Наличие композиции (некоторой операции, обозначим её звёздочкой - $\Large *$) для множества некоторых элементов подразумевает, что есть возможность двум любым элементам из этого множества сопоставить третий элемент, той же "природы", что и первые два:

$\Large A * B = C$

При этом:

1. Под композицией может подразумеваться любая операция, например умножение или сложение.
2. Знак операции может вообще отсутствовать (как это часто делают при записи умножения).