Правая единица - определение - правый единичный элемент

Тогда и здесь предложение желательно переписать, чтобы было в соответствии с тем соглашением:

$\exists j\in X:\,\,$ $a*j=a\,\,\,$ для $\,\,\,\forall a\in X$.

Определение

Правая единица - это такой элемент $j$ из множества $X$, который в композиции с любым элементом $a$ из данного множества $X$, этот (любой) элемент a не меняет, то есть:
$\exists j\in X\,:\,\,a?j = a\,\,$ для $\,\,\forall a\in X$

можно записать короче, не теряя содержания.
Сразу же заметим, что квантор существования недопустим, так как мы говорим лишь о том, что называть правой единицей, но ещё ничто не указывает на существование этого объекта в $X$.

Пусть на множестве X задан закон композиции $*$. Правая единица - это такой элемент $j\in X$, что
$a?j = a\,\,$ для $\,\,\forall a\in X$.

Аналогично можно ввести определение левой единицы.

В конкретной ситуации равенства между левой и правой единицами (если они, конечно, существуют) может не быть.

В ПРИМЕЧАНИИ пропущено слово "может":

Правой единицы в каком-то конкретном множестве и не быть.

Предложение же

Но если элемент со свойствами, указанными выше, есть, то его называют правой единицей множества.

выглядит несколько избыточным.

Одна опечатка.

, то его называеют правой единицей множества.