сообщество программистов

Из аксиомы треугольника следует, что всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной

надо будет его здесь записать точнее - критерий требует, чтобы "расстояние" между точками последовательности бесконечно сокращалось с ростом "номеров" этих самых точек

Связанное открытое множество на прямой есть интервал - почему?

Компонента - это открытое подмножество открытого множества, которое связно и не содержится ни в каком другом (большем) связном открытом подмножестве данного множества.

Связное множество - это такое множество, если две его точки могут быть соединены ломаной (то есть не обязательно прямой) линией, все точки которой принадлежит данному множеству.

Инфинум - это "точная нижняя граница" - то есть некоторое ограниченное максимальное значение для данного множества.

Пример

Вообще говоря, граница может быть и не точной - например рассмотрим такое множество

 3 4 5 

его "точная" нижняя граница = 3, но также - неточно его можно было бы ограничить, сказав, например,

Теорема:

Для того, чтобы множество М было открыто, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение R \ M до всего пространства R было замкнутым

Множество всех действительных чисел R замкнуто - почему?

Почему это так - разве не все его точки являются внутренними?

Точка некоторого множества называется "внутренней", если существует её окрестность, которая целиком содержится в этом множестве.

ПРИМЕЧАНИЕ: сравните это определение с определением точки прикосновения.

Теорема:

Пересечение любого числа и сумма любого конечного числа замкнутых множеств являются замкнутыми множествами