Упр. 6 - справедливость индукции при n = 3 - "все группы коммутативны"
Primary tabs
Здесь мой вопрос/уточнение по поводу хода "док-ва" в упражнении 6.
Доказательство, предположения проведённо по индукции должно выполняться при любом $n$.
Пусть $n = 3$, тогда $n + 1 = 4$, и пусть $i = 2$, а $j = 4$, тогда (сразу поменяем местами $i$-ый и $j$-ый элементы):
$$ \underbrace{A_1}_{B} A_j \underbrace{A_3}_{C} A_i = J $$
Введём обозначения - так, как и там:
$A_1,...A_{i-1} = B$, $A_{i+1}.....A_{j-1} = C$, $A_{j+1}.....A_{n+1} = D$, мы получим соотношение $BA_iCA_jD = J$
Но в нашем случае получаем соотношение:
$$B A_j C A_i = J $$
И число элементов не уменьшилось. А потому доказательство по индукции таким способом при $n = 3$ не работает. Да? Прошу прокомментировать.
- Log in to post comments
- 7904 reads
math2
Fri, 02/12/2016 - 00:53
Permalink
доказательство по индукции
Это верно. Но оно не работает по другой причине.
Чтобы точно ответить на этот вопрос, следует рассмотреть
Доказательство по индукции начинается с базы.
vedro-compota
Fri, 02/12/2016 - 13:33
Permalink
база и предположение
Насколько я понимаю, база здесь справедлива в силу правости/левости единицы. Да ведь?
С предположением вроде тоже все нормально:
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Fri, 02/12/2016 - 15:18
Permalink
база здесь справедлива в силу
Нет. Если $A\in\mathfrak{G}$, то
$$
A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=J.
$$
База есть, так как правый обратный является и левым.
vedro-compota
Fri, 02/12/2016 - 15:36
Permalink
согласен
да, конечно из этого, просто я почему-то думал, что "правость-левость" единицы и обратного элемента связаны.
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
JaKarta
Fri, 02/12/2016 - 02:52
Permalink
Вариант решения задачи
Предлагается ещё такой вариант решения!