§1.4 Изоморфизм n-мерных простраств.

В разобранных выше примерах некоторые пространства с точки зрения рассматриваемых здесь свойств не отличаются друг от друга. Таковы, например, обычное трехмерное пространство R примера 1 и пространство R', в котором векторы определяются как тройки действительных чисел. В самом, выбрав в R определенную систему координат, мы можем каждому вектору из R поставить в соответствие совокупность трёх его координат, т. Чё. вектор пространства R'. При сложении векторов координаты их складываются, а при умножении на число все координаты вектора умножаются на это число. Поэтому геометрические факты, вытекающие из определения линейного пространства, которые имеют место в R, мы можем параллельно изложить как в R, так и в пространстве R' троек чисел.

Поскольку единственными операциями, которые введены в линейных пространствах, являются операции сложения векторов и умножения вектора на число, то естественно ввести следующее

Определение 6. Линейные пространства R и R' называются изоморфными, если между векторами $ x \in R $ и векторами $ x' \in R' $ можно установить взаимно однозначное соответствие*) $ x \leftrightarrow x' $ так, что если вектору $x$ соответствует вектор $ x'$, а вектору $y$ соответствует вектор $ y'$, то

1° вектору $ x + y $ соответствует вектор $ x' + y' $,

2° вектору $ \lambda x $ соответствует вектор $ \lambda x' $

Из определения изоморфизма следует, что если $ x, y, ... - $ векторы из R', то равенство $ \lambda x + \mu y + ... = 0 $ равносильно равенству \lambda x' \mu y' + ... = 0. $ Следовательно, линейно независимым векторам из R соответствуют линейно независимые векторы из R', и обратно.

Возникает вопрос, какие пространства изоморфны между собой и какие нет.

Два пространства различной размерности заведомо не изоморфны друг другу

В самом деле, пусть R и R' изоморфны. Из сделанного выше замечания следует, что максимальное число линейно независимых векторов в R и R' одно и то же, т. е. размерности пространств R и R' равны. Следовательно, пространства различной размерности не могут быть между собой изоморфны.

Теорема 2. Все пространства, имеющие одну и ту же размерность n, изоморфны друг другу.

Доказательство. Пусть R и R' - два n-мерных пространства. Выберем в R базис $e/_1, e_2, ..., e_n $ и в R' какой-либо базис $ e_1', e_2', ..., e_n' $. Поставим в соответствие вектору

$ x = \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n $

$ x' = \xi_1 e_1' + \xi_2 e_2' + ... + \xi_n e_n',$
т. е. линейную комбинацию векторов $ e_\iota ' $ с теми же коэффициентами, что и в (9).

Это соответствие взаимно однозначно. В самом деле, каждый вектор x может быть однозначно представлен в виде (9). Поэтому числа $ \xi_1 $, а значит, и вектор x', определяются по вектору x однозначно. Ввиду равноправности, в нашем построении, пространства R и R', каждому x' отвечает элемент из R и притом только один.

Из установленного закона соответствия сразу следует, что если $ x \leftrightarrow x' $, то $ + y \leftrightarrow x' + y'$ и $ \lambda x \leftrightarrow \lambda x' .$ Изоморфизм пространств R и R', таким образом, доказан.

Итак, единственной существенной характеристикой конечномерного линейного пространства является его размерность.

В 3 параграфе мы ещё вернёмся к понятию изоморфизма по другому поводу.