Работы Коши по обоснованию математического анализа

тождественно равна нулю. Это утверждение, высказанное также Эйлером, опроверг Коши. Лагранж приходит к заключению, что «истинная теория» дифференциального исчисления еще не создана.
«Теория аналитических функций» Лагранжа была встречена с большим интересом. Ее идеи восприняли составители многих руководств. Однако предложение Лагранжа отказаться от исполь-зования бесконечно малых и пределов не встретило сочувствия, и большинство математиков решили сочетать теорию Лагранжа с применением бесконечно малых и пределов.
В конкурсе, объявленном Лагранжем в Берлинской Академии наук для прояснения понятия «бесконечность», участвовал Карно. Он первым отметил, что понятия потенциальной бесконечно малой и предела неразрывно связаны, и первым определил бесконечно ма¬лую как переменную, пределом которой является нуль. Это откры¬вало путь к синтезу теории пределов и исчисления бесконечно ма¬лых — синтезу, который Карно безуспешно пытался осуществить и который удался Коши.
В начале XIX в. желание подвести под математику прочный фундамент стало почти всеобщим и необходимость пролить свет на основные понятия анализа сделалась неотложной. Впервые ясная концепция основных понятий исчисления бесконечно малых (не-прерывность, производная, связь между непрерывностью и диф-ференцируемостью) появилась у чешского логика и математика Бернарда Больцано, но его работы почти полвека оставались неиз-вестными остальным математикам.
Бесконечно малые в трактовке Лейбница в XIX в. были из¬гнаны из строгой математики, однако не исчезли совсем (так как физики использовали их постоянно). Математики перешли к «эпси- лон-дельта»-анализу, который до сих пор соответствует духу уни-верситетского образования.

Работы Коши по обоснованию математического анализа
Огюстен Коши стал главным «проводником» строгости в исчи-слении бесконечно малых. Этому посвящены три его работы, по-явившиеся между 1821 и 1829 гг.: «Курс анализа» (1821), «Крат¬кое изложение лекций по исчислению бесконечно малых» (1823) и

«Лекции о дифференциальном исчислении» (1829). От метода Ла¬гранжа Коши отказался, так как Лагранж не обратил внимания на расходимость многих рядов.
За основное понятие Коши принял понятие предела. Развив идею Даламбера, но отказавшись окончательно от геометрическо¬го подхода, с которым она была еще тесно связана, он определил предел как чисто арифметическое понятие. Вот его определение: если значения, последовательно приписываемые одной и той же переменной, неограниченно приближаются к фиксированному зна¬чению, так, что, в конце концов, отличаются от него сколь угодно мало, то последнее называют пределом всех остальных. Вслед за Коши большинство аналитиков приняли предел за основу исчисле¬ния бесконечно малых.
В свете концепций предела, переменной и функции Коши разъ¬яснил понятие бесконечно малой величины, которая является не чем иным, как сходящейся последовательностью с пределом нуль: если последовательные числовые значения переменной неограни¬ченно убывают, так, что становятся меньше любого заданного числа, то эта переменная становится тем, что называют беско¬нечно малой или бесконечно малым количеством. Переменная это¬го рода имеет пределом нуль. Производная непрерывной функции у = f(x) также определяется через предел. Это предел отношения (/(ж + г) — /(ж))/г, если он существует, когда г стремится к нулю.
Определив производную, Коши установил ее связь с дифферен-циалами Лейбница: если dx — некоторая конечная величина, диф-ференциалом dy функции у = /(ж) будет просто f'(x)dx. Таким образом, величины dx и dy определены только одним свойством, заключающимся в том, что их отношение равно производной /'(ж).
Ньютон и Лейбниц разработали две различные концепции инте-грала. Ньютон использовал в основном неопределенный интеграл и рассматривал интегрирование как операцию, обратную дифферен-цированию. В течение всего XVIII в. этот подход был преоблада¬ющим. Лейбниц интерпретировал площади и объемы как суммы прямоугольников и цилиндров, что привело к понятию определен¬ного интеграла. Коши, первым давший точное определение интег¬рала (1823), придерживался концепции Лейбница.