Все циклические группы - абелевы
Primary tabs
Группы, образованные степенями какого-нибудь элемента, называются циклическими группами. Нетрудно убедиться, что все циклические группы абелевы, т.е. подчиняются коммутативному закону.
Действительно, рассмотрим циклическую группу $\mathfrak{H}={J,A^1,A^2,…,A^{m-1}}$ порядка $m$. Очевидно, что $J=A^0=A^m$.
Выберем два произвольных элемента этой группы: $A^i$ и $A^j$.
Имеем
$$A^iA^j=\overbrace{AA…A}^{i}\underbrace{AA…A}_{j};$$
аналогично
$$A^jA^i=\overbrace{AA…A}^{j }\underbrace{AA…A}_{i}.$$
Представленные произведения состоят из $i+j=j+i$ элементов, следовательно, $A^iA^j=A^jA^i.$
- Log in to post comments
- 34561 reads
vedro-compota
Fri, 02/26/2016 - 12:00
Permalink
Как было бы понятнее
Чтобы показать перестановочность, мы всё же должны записать преобразования "оторвавшись" от индексов, например так (возьмём два любых элемента $A^i$ $A^j$ из циклической группы):
$$A^i * A^j=\overbrace{A * A * … * A}^{\text{i раз}}\underbrace{ * A * A * A *…A}_{\text{j раз}} = $$
$$ \overbrace{A * A * A * A * A * … * A}^{\text{i + j раз}} = $$
$$=\overbrace{ * A * A * A *…A}^{\text{j раз}} \underbrace{* A * A * … * A}_{\text{i раз}} = A^j * A^i $$
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
vedro-compota
Fri, 02/26/2016 - 12:04
Permalink
что за степени
Не очень понятно почему:
Разве всегда справедливо такое равенство:
$$A^i=A^0A^1…A^i$$
??
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Fri, 02/26/2016 - 13:26
Permalink
$A^iA^j=\overbrace{A^0A^1…A^i
Вам потребуется определение степени элемента.
Для любого $k\in\mathbb{Z}$ степень $A^k$ определена:
если $k=0$, то $\ \ A^k\stackrel{def}{=}J$;
если $k\gt 0$, то $\ \ A^k\stackrel{def}{=} \underbrace{A\ A\ …\ A}_{k \ шт.}$;
если $k\lt 0$, то $\ \ A^k\stackrel{def}{=} \underbrace{A^{-1}\ A^{-1}\ …\ A^{-1}}_{k \ шт.}$.
Опечатка. Здесь будет
$$
\mathfrak{H}={J,A^1,A^2,…,A^{m-1}}
$$
Циклическая группа, порождённая элементом $A$. В этом случае пишут
$$
\mathfrak{H}=(A).
$$
$$
(A)=\{A^k\ |\ k\in\mathbb{Z}\}.
$$
JaKarta
Fri, 02/26/2016 - 15:32
Permalink
опечатки убраны.
опечатки убраны.
vedro-compota
Fri, 02/26/2016 - 16:51
Permalink
да, теперь нормально.
да, теперь нормально.
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
vedro-compota
Fri, 02/26/2016 - 13:40
Permalink
но
С этим я согласен:
но:
- не верно в общем случае, хотя бы потому что в общем случае (в циклической группе) не верно: $A^i=A * A^i$
(потому что вы указываете степени, может подразумевая под ними индексы? Но тогда это надо оговорить отделельно)
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Fri, 02/26/2016 - 20:51
Permalink
$$
Я это и не утверждал.
Понятно. Если бы так было, то для $i=2$ было бы выполнено
$$
A^2=A^0A^1A^2=A^3.
$$
$$
A^{3-2}=A=J.
$$
Мы получили бы группу порядка 1.
vedro-compota
Fri, 02/26/2016 - 21:21
Permalink
Мы получили бы группу порядка
согласен. Извиняюсь, я просто перепутал авторов и комментарии))
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Fri, 02/26/2016 - 20:20
Permalink
Нетрудно убедиться, что все
Необходимо доказательство для бесконечных циклических групп.
JaKarta
Sat, 02/27/2016 - 15:40
Permalink
Приведите пример бесконечной
Приведите пример бесконечной циклической группы.
В книге начиная со страницы 18 §1, пункт 10 - есть строки, далее цитирую:"В дальнейшем мы будем заниматься только такими группами, которые содержат конечное число элементов. Такие группы носят название конечных групп, а число содержащихся в такой группе элементов - порядком группы".
math2
Sat, 02/27/2016 - 21:14
Permalink
Пример бесконечной
Пример бесконечной циклической группы --- группа $\mathbb{Z}$ целых чисел с операцией сложения.
Эта группа порождена элементом $1$.
Также она может быть порождена элементом $(-1)$.
Или группа всех чётных целых чисел с операцией сложения.
Такая группа порождена элементом $2$.
vedro-compota
Mon, 02/29/2016 - 14:47
Permalink
конечность степени для конкретного элемента в бесконечной группе
math2, Можно ли считать, что в бесконечной циклической группе два любых элемента имеют конечные степени (представляются конечной степенью элемента, который порождает циклическую группу)?
Если так, то сумма их степеней конечна, и тогда показать перестановочность можно так, как это сделано выше.
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Mon, 02/29/2016 - 22:58
Permalink
в бесконечной циклической
Так говорить нельзя.
$$
(A)=\{A^k\ |\ k\in\mathbb{Z}\}.
$$
Здесь мы видим, что в циклической группе, бесконечной или конечной, каждый элемент
является целочисленной степенью образующего элемента $A$. Определение степени уже было приведено.
Выше речь не шла об отрицательных степенях.
JaKarta
Mon, 02/29/2016 - 15:27
Permalink
Рассмотрим бесконечную
Рассмотрим бесконечную циклическую группу $\mathbb{Z}$ целых чисел с операцией сложения.
Эта группа порождена элементом $1$.
Насколько я понимаю, в этой группе $J=0$, и произвольный элемент $x\in\mathbb{Z}$ представим в виде $x=\underbrace{1+1+…+1}_{x}$. Тогда действительно, произвольный элемент имеет конечную степень и можно проводить доказательство аналогично предложенному.
math2
Mon, 02/29/2016 - 23:18
Permalink
произвольный элемент $x\in
Это, конечно, неверно. Например, $(-1)\in\mathbb{Z},$ и
$(-1)\neq 1+1+\ ...\ +1$.
JaKarta
Mon, 02/29/2016 - 15:43
Permalink
И в связи с этой темой возник
И в связи с этой темой возник другой вопрос.