Разложение группы по подгруппе. Индекс подгруппы относительно группы

Рассмотрим группу $ \mathfrak{G} $ с порядком $ n $ и её подгруппу $ \mathfrak{H} $ с порядком $ m $, которые состоят из элементов:
$$
\mathfrak{G}=J + A_2 +\ldots+A_n, \;\;\; \mathfrak{H}=J+B_2+\ldots+B_m.
$$
В силу того, что элементы $ B_i $ содержатся среди $ A_j $, а так же того, что $ \mathfrak{H} $ содержит единицу, будем иметь:
$$
\mathfrak{H}+\mathfrak{H}A_2+\ldots+\mathfrak{H}A_n=\mathfrak{HG=G}
$$
В левой части этого равенства будем оставлять только по одной из одинаковых сопряженных систем, а остальные вычеркнем. Пусть в результате получится разложение
\begin{equation}
\mathfrak{G=H+H}A_2+\ldots+\mathfrak{H}A_k \;\;\;\;\; (2)
\end{equation}

Разложение (2) носит название разложения группы $\mathfrak{G}$ по подгруппе $\mathfrak{H}$. Число $k$, т.е. число сопряженных систем в разложении (2), или просто частное порядков групп $\mathfrak{G}$ и $\mathfrak{H}$ носит название индекса подгруппы $\mathfrak{H}$ относительно группы $\mathfrak{G}$ и часто обозначается так: $\mathfrak{(G:H)}$.