§14. Пропорции

Определение отношения и пропорции см. Арифметика §48. Из пропорции $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ вытекает $ad = cb$ (произведение средних членов равно произведению крайних); обратно, из $ad = bc$ вытекают пропорции:
$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}; \qquad \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}; \qquad \dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a} \quad \text{и др.}$$
Все эти пропорции можно получить из исходной $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ с помощьью следующих правил:

1. В пропорции $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ можно менять местами предыдущие и последующие члены обоих её отношений. Из $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ получается $\dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c}.$ Эта пропорция уже получена выше в виде $\left(\dfrac{d}{c} =\dfrac{b}{a}\right)$. Точно так же ничего нового не получим, переставляя предыдущие и последующие члены в трёх выше найденных пропорциях.

   Производные пропорции Если $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, то справедливы и следующие пропорции (так называемые производные пропорции), получаемые из данной:
   $$\dfrac{a + b}{a} = \dfrac{c + d}{c};\quad \dfrac{a - b}{a} = \dfrac{c - d}{c}; \quad \dfrac{a + b}{b} = \dfrac{c + d}{d};\quad \dfrac{a - b}{b} = \dfrac{c - d}{d};\\
   \dfrac{a}{a + b} = \dfrac{c}{c + d};\quad \dfrac{a}{a - b} = \dfrac{c}{c - d}; \quad \dfrac{b}{a + b} = \dfrac{d}{c + d}; \quad \dfrac{b}{a - b} = \dfrac{d}{c - d}; \\
   \dfrac{a + b}{a - b} = \dfrac{c + d}{c - d};\quad \dfrac{a + c}{b + d} = \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}; \quad \dfrac{a + c}{b + d} = \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}; $$
   Эти и множество подобных им производных пропорций могут быть объединены в двух основных формах:
   $$\dfrac{ma + nb}{m_1a + n_1b} = \dfrac{mc + nd}{m_1c + n_1d}, \qquad \qquad (1)\\
   \dfrac{ma + nc}{m_1a + n_1c} = \dfrac{mb + nd}{m_1b + n_1d},\qquad \qquad (2)$$
   где $m, n, m_1, n_1$ – любые числа¹).
   Так полагая в формуле (1) $m = n = m_1 = 1, n_1 = 0,$ получим производную пропорцию $\dfrac{a + b}{a} = \dfrac{c + d}{c};$ полагая в формуле (2) $m = n = m_1 =1, n_1 = 0, $ имеем $\dfrac{a + c}{a} = \dfrac{b + d}{b}$ или, переставляя средние члены, $\dfrac{a + c}{b + d} = \dfrac{a}{b}$ и т.д.

   ---

   ¹) Форма (2) может быть получена по тому же правилу, что и (1), если предварительно переставить средние члены в данной пропорции.