§24.6 Симметрические и знакопеременные (антисимметрические) тензоры

Определение. Тензор называется Симметрические по данным индексам, если при любой перестановке этих индексов компоненты тензора не меняются *). Например, симметричность тензора по первым двум индексам означает, что имеет место равенство
$$ a_{ik}^{st} = a_{ik}^{st}...$$
Если $l (x, y, ....; f, g, ...) $ - соответствующая тензору $ a_{ik}^{st}$ полинейная форма
$$ l (x, y, ....; f, g, ...) = a_{ik...}^{st...} \xi^i \eta^k ... \lambda_s \mu_t ... \qquad \qquad (9)$$
то симметричность тензора по некоторой группе индексов, как это непосредственно видно из формулы (9), эквивалентна симметричности полилинейной формы по соответствующей группе. Так как для симметричности полилинейной формы по некоторой группе векторов достаточно, чтобы $a_{ik...}^{st...}$ были симметричны по соответствующим индексам лишь в одной какой-нибудь системе координат, то отсюда следует, что если компоненты тензора симметричны в одной системе координат, то такая же симметрия будет иметь место и в любой другой системе координат.

Определение. Знакопеременным (антисимметрическим) называется тензор, который меняет знак при перемене любых двух индексов местами.

При этом предполагается, конечно что у этого тензора все индексы одинакового характера, т. е. либо все ковариантные, либо все контравариантные.

Из определения знакопеременного тензора непосредственно следует, что при любой перестановке индексов компоненты Тензоры не меняются, если перестановке индексов компоненты тензора не меняются, если перестановка четная, и меняют знак, если перестановка нечётная. Знакопеременным тензорам соответствуют знакопеременные Полилинейные функции.

Полилинейная функция $ l(x, y, ...),$ зависящая от $p$ векторов $ x, y, ...$ из $R,$ называется знакопеременной, если при перестановке любой пары из векторов $ x, y, ...$
знак функции меняется.

Для проверки знакопеременного полилинейной функции достаточно проверить знакопеременного компонент соответствующего ей тензора в какой-либо одной системе координат, как это непосредственно следует из формулы (9). С другой стороны, из знакоперенности полилинейной функции следует знакопеременного соответствующего ей тензора (в любой системе координат). Следовательно, если компоненты тензора знакопеременны в какой-либо одной системе координат, то это же имеет место и в любой другой системе координат, и, значит, тензор является знакопеременным (антисимметрическим).

Выясним число независимых компонент антисимметрического тензора. Пусть, например, $ a_{ik}$ есть знакопеременный тензор ранга 2. Тогда $ a_{ik} = - a_{ik}$ и, следовательно, число различных компонент равно $ {{n (n-1} \over {2}}.$ Аналогично, для знакопеременного тензора $ a_{ijk}$ число различных компонент равно $ {{n(n-1)(n-2)} \over {3!}},$ так как компоненты с одинаковыми индексами равны нулю, а компоненты, отличающиеся лишь порядком индексов, определяются одна через другую.

Аналогично, число независимых компонент знакопеременного тензора с $k$ индексами $ (k \leqslant n)$ равно $ C_n^k.$ (Отличных от нуля знакопеременных тензоров с числом индексов больше, чем $n$, не существует, так как у знакопеременного тензора компоненты хотя бы с двумя одинаковыми индексами равны нулю, а если число индексов превышает $n,$ то у каждой компоненты совпадают, по крайней мере, два индекса.)

Рассмотрим более подробно знакопеременный тензор с $n$ индексами. Так как все группы по $n$ различных индексов, принимающих значение от 1 до $n$, отличаются лишь порядком, то у такого тензора есть лишь одна независимая компонента и он имеет, таким образом, следующий вид.

Пусть $ i_1, i_2, ..., i_n$ - некоторая перестановка чисел $1,2, ...,n.$ Положим $ a_{12} ...n = a $ Тогда
$$ a_{i1} i_2 ... i_n = ± a, \qquad (10)$$
где + отвечает четной подстановке, а - нечетной.

Упражнение. Показать, что при переходе к другой системе координат число $ a_{12} ...n = a$ умножится на определитель матрицы перехода.

Напишем полилинейную функцию, соответствующую знакопеременному тензору с $n$ индексами. В силу формулы (10) она имеет вид:
$$ l(x, y, ..., z) = a_{i1 i2} ... i_n \xi^{i1} \eta^{i2} ... \zeta^{in} = a \begin{vmatrix}
\xi_1 & \xi_2 .... \xi_n \\
\eta_1 & \eta_2 ... \eta_n \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
\zeta_1 & \zeta_2 ... \zeta_n
\end{vmatrix}.$$

Мы доказали, таким образом, что определитель из координат векторов есть, с точностью до множителя, единственная знакопеременная полилинейная функция от $ n$ векторов в $n$-мерном линейном пространстве.

Операция симметрирования. Мы можем по всякому тензору построить новый тензор, симметричный по некоторой наперед заданной группе индексов. Эта операция называется симметрированием и состоит в следующем.

Пусть задан некоторый тензор, например $ a_{i1 i2} ... i_n;$ симметрирование его, например, по первым $k$ индексам, состоит в построении тензора
$$ a_(i1 i2 ... i_k) i_{k+1}= {{1} \over {k!}} \sum a_{i1} f_2 ... f_k f_{k+1} ..., $$
где сумма распространяется по всем перестановкам $ j_1, j_2, ..., j_k$ индексов $ i_1, i_2, ..., i_k.$ Например,
$$ a(i_1, i_2) = {{1} \over {2}} (a_{i1} i_2 + a_{i2} i_1). $$

Операция симметрирования тензора по группе из $ k$ индексов $ i_1, i_2, ..., i_k$ обозначается следующим образом:
$$ a_{f_1 f_2...} (i_1 i_2 ... i_k) ... . $$

Операция альтернирования вводится аналогично операции симметрирования и даёт возможность по данному тензору построить тензор, знакопеременный по данной группе индексов. Она определяется следующим образом:
$$ a_(i1 i2 ... i_k) i_{k+1} = {{1} \over {k!}} \sum a_{i1} f_2 ... f_k f_{k+1} ..., $$
где сумма распространяется по всем перестановкам $ i_1, i_2, ..., i_k$ индексов $ i_1, i_2, ..., i_k, $ а знак определяется честностью или нечетностью этой перестановки. Например,
$$ a_{i1 i2} = {{1} \over {2}} (a_{i1 i2} - a_{i2 i1}.) $$

Операция пльтернатированич обозначается скобками [ ]; в них заключаются те индексы, по которым тензор альтернируется.

По всяким $k$ векторам $ \xi^{i1}, \eta^{i2}, ... ,\zeta^{ik} $ можно построить антисимметрическим тензор
$$ a^{i1 i2} ... i^k = \xi^{i_1} \eta^{i2} ... \zeta^{ik}], \qquad \qquad (11)$$
где через $ \xi^{i1 \eta^i2 ... \zeta^ik} $ обозначен тензор, полученный альтернатированиеи тензора $ \xi^{i1} \eta^{i2} ... \xi^{ik}.$ Как нетрудно усмотреть из написанной формулы, компонентами этого тензора являются миноры $k$-го порядка следующей матрицы из $n$ столбцов:
$$ \begin{pmatrix}
\xi^1 & \xi^2 ... \xi^n \\
\eta^1 & \eta^2 ... \eta^n \\
\cdots & \cdots \cdots \\
\zeta^1 & \zeta^2 ... \zeta^n
\end{pmatrix}. $$

Построенный тензор (11) обладает тем свойством, что если к какому-либо из векторов $ \xi^{i1}, \eta^{i2}, ... $ добавить линейную комбинацию остальных, то тензор $ a^{i1} ... i_k$ от этого не изменится.

Рассмотрим $k$-мерное подпространство $n$-мерного пространства $R.$ Поставим вопрос о том, чтобы охарактеризовать это $k$-мерное подпространство системой чисел, т. е. ввести координаты подпространства.

$k$-мерное подпространство порождается $k$ линейное независимыми векторами $ \xi^{i1},\eta^{i2}, .., \xi^{ik}.$ При этом разные системы из $k$ векторов могут породить одно и то же подпространство. Однако нетрудно показать, и мы предоставляем это читателю, что если две системы векторов порождают одно и то же подпространство, то построенные по каждой из них тензоры
$$ a^{i1 i2 ... ik} = \xi^{[i1]} \eta^{i2} ... \zeta^{ik}$$
совпадают с точностью до множителя.

Таким образом, тензор $ a^{i1 i2 ... ik},$ построенный по векторам $ \xi^{i1}, \eta^{i2}, ..., \zeta^{ik}, $ порождающим некоторое подпространство, определяет это подпространство.