Среди степеней элемента, меньших порядка элемента нет двух равных значений.

Докажем утверждение из теоремы о представимости всякой подстановки в виде совокупности циклов:

Можно доказать , что среди элементов $1,\ A(1),\ A^2(1),\ ...,\ A^{k-1}(1)$ не может быть двух равных. [где $k$ - порядок элемента $A$].

Предположим обратное, пусть $\exists m, n \in \mathbb{N}: m < n < k: A^n(1) = A^m(1) $
Пусть $n - m = b$ (обозначим так разницу между ними), тогда получаем, что:......

Доказательство:

Смотрите здесь.