Все циклические группы - абелевы.

Группы, образованные степенями какого-нибудь элемента, называются циклическими группами. Нетрудно убедиться, что все циклические группы абелевы, т.е. подчиняются коммутативному закону.
Действительно, рассмотрим циклическую группу $\mathfrak{H}={J,A^1,A^2,…,A^{m-1}}$ порядка $m$. Очевидно, что $J=A^0=A^m$.
Выберем два произвольных элемента этой группы: $A^i$ и $A^j$.
Имеем
$$A^iA^j=\overbrace{AA…A}^{i}\underbrace{AA…A}_{j};$$
аналогично
$$A^jA^i=\overbrace{AA…A}^{j }\underbrace{AA…A}_{i}.$$
Представленные произведения состоят из $i+j=j+i$ элементов, следовательно, $A^iA^j=A^jA^i.$

Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):

vedro-compota's picture

Чтобы показать перестановочность, мы всё же должны записать преобразования "оторвавшись" от индексов, например так (возьмём два любых элемента $A^i$ $A^j$ из циклической группы):

$$A^i * A^j=\overbrace{A * A * … * A}^{\text{i раз}}\underbrace{ * A * A * A *…A}_{\text{j раз}} = $$
$$ \overbrace{A * A * A * A * A * … * A}^{\text{i + j раз}} = $$
$$=\overbrace{ * A * A * A *…A}^{\text{j раз}} \underbrace{* A * A * … * A}_{\text{i раз}} = A^j * A^i $$

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

vedro-compota's picture

Не очень понятно почему:

Имеем
$$A^iA^j=\overbrace{A^0A^1…A^i}^{i}\underbrace{A^0A^1…A^j}_{j};$$

Разве всегда справедливо такое равенство:

$$A^i=A^0A^1…A^i$$
??

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

$A^iA^j=\overbrace{A^0A^1…A^i}^{i}\underbrace{A^0A^1…A^j}_{j};$

Вам потребуется определение степени элемента.

Для любого $k\in\mathbb{Z}$ степень $A^k$ определена:

если $k=0$, то $\ \ A^k\stackrel{def}{=}J$;
если $k\gt 0$, то $\ \ A^k\stackrel{def}{=} \underbrace{A\ A\ …\ A}_{k \ шт.}$;
если $k\lt 0$, то $\ \ A^k\stackrel{def}{=} \underbrace{A^{-1}\ A^{-1}\ …\ A^{-1}}_{k \ шт.}$.

$$\mathfrak{H}={J,A^1,A^2,…,A^m-1}$$

Опечатка. Здесь будет
$$
\mathfrak{H}={J,A^1,A^2,…,A^{m-1}}
$$

Циклическая группа, порождённая элементом $A$. В этом случае пишут
$$
\mathfrak{H}=(A).
$$
$$
(A)=\{A^k\ |\ k\in\mathbb{Z}\}.
$$

JaKarta's picture

опечатки убраны.

vedro-compota's picture

да, теперь нормально.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

vedro-compota's picture

С этим я согласен:

Для любого $k\in\mathbb{Z}$ степень $A^k$ определена:

если $k=0$, то $\ \ A^k\stackrel{def}{=}J$;
если $k\gt 0$, то $\ \ A^k\stackrel{def}{=} \underbrace{A\ A\ …\ A}_{k \ шт.}$;
если $k\lt 0$, то $\ \ A^k\stackrel{def}{=} \underbrace{A^{-1}\ A^{-1}\ …\ A^{-1}}_{k \ шт.}$.

но:

$$A^i=A^0A^1…A^i$$

- не верно в общем случае, хотя бы потому что в общем случае (в циклической группе) не верно: $A^i=A * A^i$
(потому что вы указываете степени, может подразумевая под ними индексы? Но тогда это надо оговорить отделельно)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

$$
A^i=A^0A^1…A^i
$$

Я это и не утверждал.

Понятно. Если бы так было, то для $i=2$ было бы выполнено
$$
A^2=A^0A^1A^2=A^3.
$$
$$
A^{3-2}=A=J.
$$
Мы получили бы группу порядка 1.

vedro-compota's picture

Мы получили бы группу порядка 1.

согласен. Извиняюсь, я просто перепутал авторов и комментарии))

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Нетрудно убедиться, что все циклические группы абелевы, т.е. подчиняются коммутативному закону.

Необходимо доказательство для бесконечных циклических групп.

JaKarta's picture

Приведите пример бесконечной циклической группы.
В книге начиная со страницы 18 §1, пункт 10 - есть строки, далее цитирую:"В дальнейшем мы будем заниматься только такими группами, которые содержат конечное число элементов. Такие группы носят название конечных групп, а число содержащихся в такой группе элементов - порядком группы".

Пример бесконечной циклической группы --- группа $\mathbb{Z}$ целых чисел с операцией сложения.
Эта группа порождена элементом $1$.
Также она может быть порождена элементом $(-1)$.

Или группа всех чётных целых чисел с операцией сложения.
Такая группа порождена элементом $2$.

vedro-compota's picture

math2, Можно ли считать, что в бесконечной циклической группе два любых элемента имеют конечные степени (представляются конечной степенью элемента, который порождает циклическую группу)?

Если так, то сумма их степеней конечна, и тогда показать перестановочность можно так, как это сделано выше.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

в бесконечной циклической группе два любых элемента имеют конечные степени

Так говорить нельзя.
$$
(A)=\{A^k\ |\ k\in\mathbb{Z}\}.
$$
Здесь мы видим, что в циклической группе, бесконечной или конечной, каждый элемент
является целочисленной степенью образующего элемента $A$. Определение степени уже было приведено.

Если так, то сумма их степеней конечна, и тогда показать перестановочность можно так, как это сделано выше.

Выше речь не шла об отрицательных степенях.

JaKarta's picture

Рассмотрим бесконечную циклическую группу $\mathbb{Z}$ целых чисел с операцией сложения.
Эта группа порождена элементом $1$.
Насколько я понимаю, в этой группе $J=0$, и произвольный элемент $x\in\mathbb{Z}$ представим в виде $x=\underbrace{1+1+…+1}_{x}$. Тогда действительно, произвольный элемент имеет конечную степень и можно проводить доказательство аналогично предложенному.

произвольный элемент $x\in\mathbb{Z}$ представим в виде $x=\underbrace{1+1+…+1}_{x}$

Это, конечно, неверно. Например, $(-1)\in\mathbb{Z},$ и
$(-1)\neq 1+1+\ ...\ +1$.

JaKarta's picture

И в связи с этой темой возник другой вопрос.