Знакопеременная группа и её порядок

(в процессе)

Знакопеременные группы

Все четные подстановки $n$-ой степени составляют в силу теоремы 8 группу, которая носит название знакопеременной группы $n$-ой степени и обозначается так: $\mathfrak{A}_n$.

Чтобы определить порядок этой группы , возьмём произвольную нечетную подстановку (например транспозицию) $T$ и обратим внимание на то, что все подстановки сопряжённой системы $\mathfrak{A}_n T$ в силу теоремы 8 нечётны.
С другой стороны, всякая нечетная подстановка $S$ входит в систему $\mathfrak{A}_n T$, так как подстановка $S T^{-1}$ в силу той же теоремы 8 является четной и потому входит в группу $\mathfrak{A}_n$. Таким образом мы получаем:
$$
\mathfrak{S}_n = \mathfrak{A}_n + \mathfrak{A}_n T
$$
Это показывает, что индекс ($\mathfrak{S}_n : \mathfrak{A}_n$) равен 2, то есть что порядок знакопеременной группы $n$-ой степени равен $\displaystyle {n!\over{2}}$.

Отметим следующий важный факт в теореме 10.