fkn+antitotal

В доказательстве 6-го упражнения база индукции верна.

От соотношения
$$
\underbrace{A_1...A_{i-1}}_{B} \; A_{j} \; \underbrace{A_{i+1}....A_{j-1}}_{C} \; A_{i} \; \underbrace{A_{j+1}....A_{n+1}}_{D} = J
$$
мы переходим к соотношению
$$BA_iCA_jD = J.$$

Сказано: "получим соотношение $BA_iCA_jD = J$ из меньшего числа элементов".

--- Меньшего, чем что?
--- Меньшего, чем $n+1$.

Получается, что $n+1\gt 5$.
$$
n \geq 5.
$$

Тождественная группа - это группа, состоящая из единственного элемента, который является единицей этой группы.

Если речь идёт о симметрической группе, то единицей там является тождественное преобразование.

Можно ли переформулировать Упр. 7:

Доказать следующее: чтобы убедиться, что некоторая совокупность элементов конечной группы составляет группу, достаточно показать, что произведение любых двух элементов этой совокупности тоже принадлежит этой совокупности (дело сводится к проверке аксиом 3 и 4)

таким образом:

Упражнение 7. Доказать следующее: чтобы убедиться, что некоторая совокупность элементов конечной группы $\mathfrak{G}$ составляет группу $\mathfrak{H}$, достаточно показать, что произведение любых двух элементов этой совокупности тоже принадлежит этой совокупности (дело сводится к проверке аксиом 3 и 4).

Подгруппа - подмножество элементов некоторой ("первоначальной") группы, которое, будучи взятым отдельно, само образует группу.

Также подгруппу называют делителем первоначальной группы.

Пример

Симметрическая группа подстановок 3-й степени (т.е. из 3 предметов ) состоит из следующих 6-ти подстановок:

$ 1,
(1 2 3),
(1 3 2),
(1 2),
(1 3),
(2 3)$

Парадокс. Все группы коммутативны.

Непосредственная проверка.
Пусть имеется $\mathfrak{A_2} = (A_1,A_2,J) $, и справедливо
$ A_1A_2=J $. Действительно, по аксиоме $4$

$\forall{A_i}$ группы $ \exists{A_j} $ такое, что справедливо $ A_iA_j=J$.
Для определенности зафиксируем элемент $ A_1 $, тогда видим, что $ A_2 $ - правый обратный элемент (выполняется аксиома $4$). Согласно теореме $ 3 $ видим, что $ A_2 $ так же является и левым обратным элементом для $ A_1 $, то есть $ A_1A_2=$ $A_2A_1 $.

Пример однострочного и многострочного комментария (в втором случае закомментирован фрагмент кода):

# раньше одна из колонок создавалась с другим имененем:

/*
ALTER TABLE usettings
    ADD `filter` TEXT NULL COMMENT ' опции';
*/

При переименовании колонки таблицы, фактически, придётся заново определить для неё тип данных.

Предположим, что вы создавали (добавляли) столбец таким образом:

ALTER TABLE `usettings`
    ADD `filter` TEXT NULL COMMENT 'последние опции';

Тогда переименовать его из `filter` в `filter_articles` можно так:

ALTER TABLE `usettings` CHANGE COLUMN `filter` `filter_articles` 
	TEXT NULL COMMENT 'статьи - последние опции ';

Рассмотрим случай синхронизации с помощью $.Deferred, когда, возможно, запрашивать по сети ничего и не требуется, подобную ситуацию можно реализовать таким образом:

var getFilter = $.Deferred(); // будем ждать "резрешения" этой переменной

if (document.location.hash.length !== 0 ) { // если загрузка по сети не требуется
	oldParam = document.location.hash;
	getFilter.resolve(); // "разрешаем" вручную
} else { // если всё же требуется делать запрос

Здесь мой вопрос/уточнение по поводу хода "док-ва" в упражнении 6.

Доказательство, предположения проведённо по индукции должно выполняться при любом $n$.
Пусть $n = 3$, тогда $n + 1 = 4$, и пусть $i = 2$, а $j = 4$, тогда (сразу поменяем местами $i$-ый и $j$-ый элементы):
$$ \underbrace{A_1}_{B} A_j \underbrace{A_3}_{C} A_i = J $$
Введём обозначения - так, как и там: