fkn+antitotal

Пусть на одном и том же множестве-носители заданы две топологии t1 и t2 - соответсвенно мы имеем два топологических пространства.

Говорят, что топология $ t_1$ сильнее или тоньше, чем топология $ t_2$, если система множеств $ t_2$ содержится в $ t_1$ - про $ t_2$ же в данном случае говорят, что она слабее или грубее, чем $t_1$

ПРИМЕЧАНИЕ: таким образом, в данном контексте эквивалентны слова:

1. сильнее = тоньше
2. слабее = грубее

Интервал - отрезок без двух крайних точек (это если просто), или (что более правильно) - одномерный открытый шар.

ПРИМЕЧАНИЕ: первичным является понятие расстояния (см. здесь), а уже из понятия расстояния выводится понятие шара, частным случае которого является интервал.

Далее я процитирую (по смыслу и местами - дословно) учебник Колмогорова, Фомина:

Основные понятия теории метрических пространств, например:

Принцип сжимающих отображений

Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве R, имеет одну и только одну неподвижную точку.

Точка x отображения A называвается неподвижной если выполняется:

$\Large Ax = x$

То есть можно сказать, что неподвижные точки - это решения уравнения $\Large Ax = x$

Сжимающее отображение - отображение A некоторого пространства в себя. такое что существует некоторе число a

$\Large p(Ax, Ay) \leq a p(x, y)$

То есть при выполнении отображения расстояние между точками уменьшается ("сжимается") с некоторой "силой", которую и характеризует коэффициент a

Изометрия - биективное отображение из пространства в пространство при котором метрические связи между элементами сохраняются (хотя природа этих элементов может меняться) - то сохраняется "расстояние"

Подробнее см. здесь: http://fkn.ktu10.com/?q=node/6473

Биекция - отображение между множествами (пространствами), приводящее к взаимно однозначному соответствию, например:

Замыкание пространства (метрического) - в принципе тоже самое что замыкание множества, так как замыкание множества вообще говоря подразумевает некоторое понятии о расстоянии (в случае если мы говорим об "окрестности" - понятии необходимом для определения понятия предельной точки)

Пусть $R$ - метрическое пространство. Полное метрическое пространство $R^*$ называется пополнением пространства R, если:

1. $R$ является подпространством пространства $R^*$
2. $R$ всюду плотно в $R^*$, т.е. [R] = R*

где [R] - есть замыкание пространства R.