fkn+antitotal

Пусть $R$ - метрическое пространство. Полное метрическое пространство $R^*$ называется пополнением пространства R, если:

1. $R$ является подпространством пространства $R^*$
2. $R$ всюду плотно в $R^*$, т.е. [R] = R*

где [R] - есть замыкание пространства R.

Теорема Бэра

Полное метрическое пространство R не может быть представлено в виде объединения счётного числа нигде не плотных множеств

Задача

Привести пример полного метрического пространства и последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров в нём, имеющих пустое пересечение.

Теорема о вложенных шарах

Для того, чтобы метрическое пространство $\Large R$, было полным необходимо и достаточо чтобы в нём всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров , радиусы которых стремятся к нулю, имела непустую внутренность.

Стационарная последовательность - последовательность, в которой начиная с некоторого номера повторяется всё время одна и так же точка

Под "точкой" а абстрактном определении из "теории множеств" подразумевается обычно элемент множества - это может быть и геометрическая точка, и набор координат, и функция, набор функций или даже рота солдат - то есть, вообще говоря, любой (любого типа) элемент некоторого множества.

Полное пространство - это пространство, в котором любая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).

Фундаментальная последовательность - такая последовательность, что расстояние между очередными двумя её элементами всегда уменьшается с ростом номера - причём можно найти два соседних элемента (начиная с некоторого номера N), расстояние между которыми будет сколько угодно малым.

пространство с метрикой:
$\Large p(x, y) = \sideset{}{}{sup}_k \big|y_k - x_k\big|$
всех ограниченных последовательностей $\Large x(x_1, x_2, ....,x_n, .....)$, состоящих из действительных чисел не является сепарабельным

Плотность одного множетства в другом

Первое множество называется плотным во втором, если замыкание первого множетсва содержит второе множество

Конкретнее:
Множетсво A называется плотным в B, если:
$\Large [A] \supset B$

Смысл: то есть подразумевается, что любая окретсность точки b из B содержит элемент из A - то есть элементы А сколько угоддно близко приближаются к любому элементу из B.