Для того, чтобы метрическое пространство $\Large R$, было полным необходимо и достаточо чтобы в нём всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров , радиусы которых стремятся к нулю, имела непустую внутренность.
Под "точкой" а абстрактном определении из "теории множеств" подразумевается обычно элемент множества - это может быть и геометрическая точка, и набор координат, и функция, набор функций или даже рота солдат - то есть, вообще говоря, любой (любого типа) элемент некоторого множества.
Фундаментальная последовательность - такая последовательность, что расстояние между очередными двумя её элементами всегда уменьшается с ростом номера - причём можно найти два соседних элемента (начиная с некоторого номера N), расстояние между которыми будет сколько угодно малым.
пространство с метрикой:
$\Large p(x, y) = \sideset{}{}{sup}_k \big|y_k - x_k\big|$
всех ограниченных последовательностей $\Large x(x_1, x_2, ....,x_n, .....)$, состоящих из действительных чисел не является сепарабельным
Первое множество называется плотным во втором, если замыкание первого множетсва содержит второе множество
Конкретнее: Множетсво A называется плотным в B, если:
$\Large [A] \supset B$
Смысл: то есть подразумевается, что любая окретсность точки b из B содержит элемент из A - то есть элементы А сколько угоддно близко приближаются к любому элементу из B.