fkn+antitotal

Объект - то же самое, что "экземпляр класса", т.е. то, что создаётся программой во время выполнения по схеме, описанной классом.

Класс сам по себе только схема, "живут" же в программах объекты, относящиеся к разным классам (всё как в мире животных ;)

Класс как тип данных

Также можно сказать, что класс описывает тип данных, а объект - это конкретная сущность, описанного классом типа

Пусть:

1. $\Large M$ есть подмножетсво сегмента $\Large E = [A, B]$
2. на сегменте $\Large E$ задана некоторая функция $\Large \varphi_M(x)$

Функция $\Large \varphi_M(x)$, равная единице на множестве $\Large M $ и нулю на множестве $\Large E - M$ (то есть = 1 на $\Large M$, а в остальных точках = 0)
наывзается характеристической функцией множества $\Large M$.

Ступенчатая функция измерима

это следствие из теоремы о том, что функция $\Large f(x)$, заданная на измеримом множестве $\Large E $ - такая, что $\Large f(x) = c$ для всех $\Large x$ из $\Large E$ ($\Large с$ = const = константа) измерима

Если какое ствойство исполняется для всех элементов некоторого множества $\Large E$, кроме некоторого его подмножества $\Large E_0$, мера которого равна нулю (т. е. $\Large mE_0 = 0$), то говорят, что данное свойство выполнено почти везде на множестве $\Large E$.

Функции две функции f и g заданные на множестве E называются эквивалентными, если:

$\Large mE (f \neq g) = 0 $
то есть в случае, если мера множества точек, на котором их значения различны равна нулю.

Альтернативное определение эквивалентности (другими словами):

Две функции заданные на множестве E эквивалентны в том случае, если они равны почти везде на множестве E

Обозначается эквивалентность двух функций так:
$\Large f(x) ~ g(x)$

Символ не равно выводит командой \neq, например:

a \neq b

даст нам:
$\Large a \neq b$

Множество $\Large E $ называется измеримым если его внутреняя и внешняя меры равны между собой (раных друг другу).

Если это так для некоторого множества, то данное совпадающее для внутренней и внешней меры значение называют мерой множества E обозначают $\Large mE$ (уже без звёздочек).

То есть:
$\Large mE = m_*E = m^*E $

Внешней мерой ограниченного множества $\Large E $ называется точная нижняя граница (инфинум) всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащихся в этом множестве $\Large E$:

$\Large \underset{G \supset E}{m^* E} = inf \{mF\}$

ПРИМЕЧАНИЕ: в формуле выше звёздочка, расположенная как бы сверху от буквы $\Large m$ (в виде верхнего индекса) как раз показывает, что приведено определение (в виде "формулы") внешней меры, сравнение это с определением меры внутренней.

Внутренней мерой ограниченного множества $\Large E $ называется точная верхняя граница (супрэмум) всевозможных замкнутых множеств, содежращихся в этом множестве $\Large E$:

$\Large \underset{F \subset E}{m_* E} = sup \{mF\}$

ПРИМЕЧАНИЕ: в формуле выше звёздочка, расположенная как бы снизу от буквы $\Large m$ (в виде нижнего индекса) как раз показывает, что приведено определение (в виде "формулы") внутренней меры, сравнение это с определением меры внешней.

Функция $\Large f(x)$, заданная на множестве $\Large E$ называется измеримой, если измеримо само это множество $\Large E$ и если при любом конечном $\Large a$ измеримо моножество:
$\Large E (f > a)$
то есть множество всех $\Large x$ из $\Large E$ , для которых справедливо:
$\Large f(x) > a$

По Лебегу

Определение, данное выше и есть определение измеримсти функции в смысле Лебега, так как измеримость множества подразумевается именно в смысле Лебега