Правая единица одновременно является и левой единицей - теорема - доказательство

Правая единица одновременно является и левой единицей.

Доказательство. Докажем, что для всякого элемента $ A$ группы имеет место $ JA = A$
(где A - правая единица, записанная слева в копозиции с некоторым элеметом - то есть, доказав это равенство, мы как раз и докажем, что правая единица J является одновременно и левой единицей своей группы).

Введём обозначение:
$ JA = B$
Умножим это равенство справа на элемент $ X$, правый обратный к $ A$ (то есть справедливо равенство$ (AX = J)$ получаем:
$ J A X = B X$, то есть $ J = BX$ (в силу того, что преобразование в левой части равенства после умножения на $X$ выглядит так: $ A X = J \Rightarrow J A X = J J = J $)

Таким образом $ AX = BX$ (справедливо, так как на основании $AX = J$ в равенстве $J = BX$ мы заменяем $J$ на $AX$ ).
Умножая справа на элемент $\Large Y$, правый обратный к $ X: (XY = J)$, получим:
$ AXY = BXY$, откуда $ A = B$, то есть:
$ JA = A$
(правая часть данного равенства ($A$) получена из левой части ($AXY$) предыдущего равенства преобразованием $AXY = A J = A$, а левая часть данного равенства из правой предыдущего ( $BXY$) на основании обозначения введённого в самом начале: $BXY = B J = B = J A$)

Доказанное дает нам право называть элемент $ J$ просто единицей.