Док-во:Размерность пространства по числу линейно независимых векторов, таких что любой другой вектор есть их линейная комбинация

стр. 14:

Если в пространстве $R$ существует $k$ линейно независимых векторов $f_1,....., f_k$ таких, что каждый вектор из R есть их линейная комбинация, то пространство $R$ $k$-мерно.

Док-во:

В соответствии с определением размерности пространства, имея $k$ линейно независимых векторов, мы может сказать, что пространство будет $k$-мерным, если в нём не найдётся более чем $k$ линейно независимых векторов.

Предположим обратное -- что нашлось $m$ линейно независимых векторов, причём $m > k$.

Но в силу известной леммы, из набора $k$ векторов нельзя получить более чем $k$ линейно независимых векторов, а так как по условию задачи любой вектор из пространства $R$ является линейно комбинацией из $f_1,....., f_k$, то значит $m \leq k$ -- т.е. мы приходим к противоречию, и значит в пространстве $R$ не существует более $k$ линейно независимых векторов, и значит оно $k$-мерно.