[!] Глоссарий - Алгебра (теория групп) понятия, определения, примеры - "что это такое" - Diffiety School (Матфак ВГУ)

Нельзя решить задачу, если она не поставлена
- (ↄ) В. К.

Данный раздел подразумевается к использованию в качестве словаря для начинающих участников Семинара "Современные методы алгебры и топологии".
Секция будет постоянно пополняться ссылками на новые определения, примечания, рассуждения, теории, теоремы и их доказательства.

Н. Чеботарёв - "Основы теории Галуа" (глава №1, слегка нами адаптированная и прокомментированная):

1. Основные понятия:
   1. Группа - определение
   2. Преобразование - определение
   3. Композиция (умножение) преобразований- определение
   4. Ассоциативность совокупности преобразований - свойство
   5. Единица в группе преобразований, преобразование обратное данному и особенности записи подстановок
   6. Группа содержит не более одной правой единицы - теорема (доказательство)
   7. Правая единица одновременно является и левой единицей - теорема - доказательство
   8. Правый обратный элемент является и левым обратным элементом - теорема - доказательство
   9. Не может существовать двух различных правых обратных элементов - теорема - доказательство
   10. Конечная группа - определение
   11. Порядок группы - определение
   12. Порядок элемента группы - определение
   13. Упражнение 1. Доказать, что все элементы $ J, A, A^2, ..., A^{k-1}$ где $ k$ — порядок элемента А, различны - упражнение
   14. Упражнение 2. Доказать, что равенство $A^m = A^n$ может иметь место в том и только в том случае, если разность $m-n$ делится на
   15. Представление подстановок в виде циклов
   16. Упражнение 3. Проверить соответствие подстановок циклам
   17. Упражнение 4. Доказать, что циклы составляющие одну и ту же подстановку перестановочны
   18. m-членный цикл
   19. Упражнение 5. Пусть подстановка состоит из $m_1-, m_2- ..... m_k-$членных циклов...
   20. Упражнение 6. Парадокс. Все группы коммутативны
2. Подгруппы:
   1. Подгруппа (делитель группы), первоначальная группа - определение
   2. Упражнение 7. Доказать, что любое подмножество группы - само группа, если оно замкнуто относительно композиции
   3. Символическое исчисление совокупностей - совокупности, произведение совокупностей
   4. Упражнение 8. Доказать справедливость дистрибутивного закона
   5. Теорема 5. Когда совокупности составляют группу
   6. Обозначения для сравнения совокупностей $\geq $, $\gt$
   7. Теорема 6. Системы $ \mathfrak{H}A_i $ содержат при всяком $ A_i $ одно и то же число элементов (равное порядку группы...
   8. Теорема 7 (Лагранжа). Порядок подгруппы есть делитель порядка первоначальной группы
   9. Разложение подстановок на транспозиции
   10. Четность подстановки в зависимости от способа разложения на транспозиции
   11. Теорема 8. Произведение четный и нечетных подстановок - теорема
   12. Симметрические группы - определение 2
   13. Теорема 9. Порядок группы подстановок $n!$-ой степени есть делитель числа $n!$
   14. Знакопеременная группа и её порядок
   15. Теорема 10. Представление подстановки знакопеременной группы в виде трехчленных циклов
   20. Упражнение 9
3. Ответы и примечания (к учебнику Чеботарёва):
   1. Упражнение 6 - "все группы коммутативны", комментарии к доказательству ("Где ошибка")
   2. Упражнение 7. Идея док-ва. Чеботарёв - Подмножество группы само группа, если замкнуто относительно композиции
   3. Упражнение 8. Док-во: Справедливость дистрибутивного закона для совокупностей

[Список задач]

Определения и теоремы:

1. Преобразование - определение
2. Группа - определение
3. Ассоциативность - определение
4. Закон композиции - композиция
5. Правая единица - определение
6. Правый обратный элемент
7. Бинарная операция - определение
8. Моноид - определение
9. Отображение - определение
10. Дробно-линейная подстановка
11. Биекция - биективное отображение - взаимно-однозначное соответствие - определение
12. Сюръекция
13. Инъекция
14. Коммутативность - коммутативный закон - определение
15. Абелева группа - коммутативная группа - определение
16. Тождественное преобразование (отображение) - определение
17. Обратное преобразование - преобразование обратное данному - определение
18. Подстановка - определение
19. Правило умножение матрицы на вектор - умножение матрицы на матрицу формула - пример
20. Цикл в подстановке (алгебра) - определение
21. Гомеоморфизм — определение
22. Симметрическая группа
23. Поле - определение
24. Замкнутость относительно операции - определение
25. Ассоциативность композиции преобразований - доказательство
26. Алгебра - определение
27. Бинарное отношение - определение
28. Отношение эквивалентности - определение
29. Принадлежность двух элементов одному и тому же циклу - определение
30. Подстановка является (может быть представлена) либо циклом, либо произведением циклов - теорема
31. Если два цикла не содержат общих элементов, то они перестановочны - теорема
32. Циклы составляющие одну и ту же подстановку перестановочны - теорема
33. Кратность числа - определение
34. Наименьшее общее кратное НОК - определение
35. Транспозиция - определение
36. Тождественная группа - определение
37. Перестановка - определение
38. Сопряжённая система (смежный класс) - определение
39. Вполне упорядоченное множество - определение
40. Линейно упорядоченное множество - определение
41. Частично упорядоченное множество - определение
42. Частичная упорядоченность - определение
43. Рефлексивность отношения - рефлексивное отношение
44. Антисимметричность - антисимметричное отношение
45. Транзитивность - транзитивное отношение - ??
46. Упорядоченная пара
47. Циклическая группа - определение
48. Разложение группы по подгруппе. Индекс подгруппы относительно группы
49. Композиции циклов (транспозиций), дейсвия цикла на перестановку - пример
50. Порядок цикла - определение
51. Четность нечетность подставновки - четная нечетная подстановка - определение
52. Множество всех биективных отображений некоторого множества элементов на себя образует группу - теорема
53. Степень симметрической группы, степень подстановки - определение
54. Собственный вектор, собственное значение - определение
55. Диагональная матрица - определение
56. Иррациоальные числа - определение
57. Тансцендентальные числа - определение
58. Транспонированная матрица, транспонирование -- определение
59. Эрмитово сопряжённая матрица - определение
60. Комплексно сопряжённая матрица -- определение
61. Самосопряженная (эрмитова) матрица -- определение
62. Порядок подстановки -- определение
63. Орбита элемента группы -- определение - ???
64. Линейная зависимоть и Линейная независимость векторов -- определение
65. Размерность пространства -- определение
66. Линейная оболочка набора векторов -- определение
67. Базис линейного векторного пространства -- определение
68. Нетривиальная (тривиальная) комбинация векторов -- определение

Другие материалы:

1. Как Галуа записывал группы подстановок

Обозначения и соглашения по оформлению

1. Множества -большими буквами, а их элементы -малыми - по возможности =)

Источники:

1. Н. Чеботарёв - "Основы теории Галуа" - 1934 (часть 1)