§7.2 Ранг квадратичной формы

Определение 1. Число отличных от нуля коэффициентов $ \lambda_i$ в каноническом виде квадратичной формы называется рангом квадратичной формы.

Как уже было указано раньше, из доказанного нами закона инерции непосредственно следует, что ранг квадратичной формы зависит только от самой формы, а не от способа ее приведения к каноническому виду. Посмотрим, как фактически найти ранг квадратичной формы. Для этого мы определим ранг квадратичной формы, не прибегая к ее каноническому виду. Попутно мы получим определение одного пространства, тесно связанного с данной билинейной формой.

Определение 2. Нулевым подпространством данной билинейной формы $ A(x; y) $ мы называем совокупность $ R_0$ векторов $ y,$ удовлетворяющих условию $ A(x; y) = 0$ для любого вектора $ x \in R.$

Легко видеть, что $ R_0$ действительно есть подпространство. В самом деле, пусть $ y_1, y_2 \in R_0, $ т. е. $ A(x; y_1) = 0$ и $ A(x; y_2) = 0$ для любого $ x \in R. $ Тогда $ A (x; y_1 + y_2) = 0$ и $ A(; \lambda y_1) = 0 $ для любых $ x$ и $ \lambda$, т. е. $ y=y_1 + y_2 \in R_0 $ и $ \lambda y_1 \in R_0 $

Поставим вопрос: как найти подпространство $ R_0$ ? Пусть $ f_1, f_2, ..., f_n $ - какой-либо базис в $ R$. Для того чтобы вектор
$$ y= \eta_1 f_1 + \eta_2 f_2 + ... + \eta_n f_n \qquad \qquad (6) $$
принадлежал нулевому подпространству, достаточно, чтобы
$$ A(f_i; y) = 0 \text{для} i = 1, 2, ..., n. \qquad \qquad (7) $$
Действительно, если эти равенства выполнены, то и для любого $ x$ имеем $ A(x; y) = 0, $ так как всякий вектор $ x$ есть линейная комбинация базисных векторов.

Подставляя в (7) вместо $ y$ его выражение (6), мы приходим к следующей системе уравнений:
$$ A(f_1; \eta_1 f_1 + \eta_2 f_2 + ... + \eta_n f_n ) = 0, \\
A(f_2; \eta_1 f_1 h \eta_2 f_2 + ... + \eta_n f_n ) = 0, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
A(f_n; \eta_1 f_1 + \eta_2 f_2 + ... + \eta_n f_n ) = 0, $$
или, если положить $ A (f_i; f_k) = \alpha_{ik},$ к системе
$$ a_{11} \eta_1 + a_{12} \eta_2 + ... + a_{1n} \eta_n = 0, \\
a_{21} \eta_1 + a_{22} \eta_2 + ... + a_{2n} \eta_n = 0, \\
. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
a_{n1} \eta_1 + a_{n2} \eta_2 + ... + a_{nn} \eta_n = 0. $$
Совокупность векторов $ y,$ координаты $ \eta_1, \eta_2, ..., \eta_n $ которых являются решениями этой системы, и образует нулевое подпространство $ R_0.$ Как известно из теории линейных уравнений, размерность этого подпространства равна n-r, где r-ранг матрицы $ || \alpha_{ik} ||. $

Мы можем теперь сделать следующий вывод:

Ранг матрицы $ || \alpha_{ik} ||$ билинейной формы $ A(x; y) $ в некотором базисе не зависит от выбора этого базиса (хотя сама матрица $ || \alpha_{ik}||,$ как мы знаем из параграфа 5, зависит от выбора базиса).

В самом деле, ранг этой матрицы равен $n-r_0,$ где $r_0$ - размерность нулевого подпространства. Нулевое же подпространство ни от какой системы координат вообще не зависит.

Свяжем ранг матрицы квадратичной формы с рангом самой квадратичной формы. Рангом квадратичной формы мы назвали число отличных от нуля квадратов в каноническом виде квадратичной формы. Но в каноническом базисе матрица квадратичной формы имеет вид
$$ \begin{pmatrix}
\lambda_1 0 . . . 0 \\
0 \lambda_2 . . . 0 \\
. . . . . . . . . . . . \\
0 0 . . . \lambda_n
\end{pmatrix} $$
и ранг этой матрицы равен r, где r - число коэффициентов, отличных от нуля, т. е. равен рангу квадратичной формы. Так как ранг матрицы квадратичной формы, как мы доказали, не зависит от системы координат, то и в любой другой системе координат ранг матрицы квадратичной формы равен рангу самой квадратичной формы *).
Итак, нами доказана
Теорема 2. Матрицы квадратичной формы в различных системах координат имеют один и тот же ранг r. Этот ранг равен числу квадратов в каноническом виде формы, коэффициенты при которых отличны от нуля.
Таким образом, для того чтобы найти ранг квадратичной формы, нужно вычислить ранг ее матрицы в какой-нибудь одной системе координат.