§5 Правила действий с отрицательными и положительными числами

Абсолютной величиной (или абсолютным значением) отрицательного числа называется положительное число, получаемое от перемены его знака $(-)$ на обратный $(+)$. Абсолютная величина $-5 $ есть $+5 $, т.е. $5$. Абсолютной величиной положительного числа (а также числа $0$) называется само это число.

Знак абсолютной величины – две прямые черты, в которое заключается число, абсолютная величина которого берётся. Например, $|-5| = 5, |+5| = 5, |0| = 0$.

1. Сложение. а) При сложении двух чисел с одинаковым знаком складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится общий их знак.
$\qquad$Примеры.
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&(+8) + (+11) = 19;
&(-7) + (-3) = -10.
\end{aligned}
\end{equation*}
б) При сложении двух чисел с разными знаками из абсолютной величины одного из них вычитается абсолютная величина другого (меньшая из большей) и ставится знак того числа, у которого абсолютная величина больше.
$\qquad$Примеры.
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&(-3) + (+12) = 9;
&(-3) + (+1) = -2.
\end{aligned}
\end{equation*}
2. Вычитание. Вычитанием одного числа из другого можно заменить сложением; при этом уменьшаемое берётся со своим знаком, а вычитаемое с обратным.
$\qquad$Примеры.
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&(+7) - (+4) = (+7) + (-4) = 3;\\
&(+7) - (-4) = (+7) + (+4) = 11;\\
&(-7) - (-4) = (-7) + (+4) = -3;\\
&(-4) - (-4) = (-4) + (+4) = 0.
\end{aligned}
\end{equation*}
$\qquad$Замечание. При выполнении сложения и вычитания, особенно когда имеем дело с несколькими числами, лучше всего поступать так:

1. освободить все числа от скобок, при этом перед числом поставить знак $«+»$, если прежний знак перед скобкой был одинаков со знаком в скобке, и $«-»$, если он был противоположен знаку в скобке;
2. сложить абсолютные величины всех чисел, имеющих теперь слева знак $+$
3. сложить абсолютные величины всех чисел, имеющих теперь слева знак $-$;
4. из большей суммы вычесть меньшую и поставить знак, соответствующий большей сумме.

$\qquad$Пример.
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&(-30) - (-17) + (-6) - (+12) + (+2);\\
&1)\qquad (-30) - (-17) + (-6) - (+12) + (+12) + (+2) = -30 + 17 - 6 -12 + 2; \\
&2)\qquad 17 + 2 = 19; \\
&3)\qquad 30 + 6 + 12 = 48; \\
&4)\qquad 48 - 19 = 29.\\
\end{aligned}
\end{equation*}
Результат есть отрицательное число $-29$, так как большая сумма $(48)$ получилась от сложения абсолютных величин тех чисел, перед которыми стояли минусы в выражении $-30 + 17 - 6 + 2$.

На это последнее выражение можно смотреть и как на сумму чисел $-30, +17, -6, -12, +2$, и как на результат последовательного прибавления к числу $-30$ числа $17$, затем вычитания числа $6$, затем вычитания $12$ и, наконец, прибавления $2$. Вообще на выражение $a - b + c - d$ и т.д. можно смотреть и как на сумму чисел $(+a), (-b), (+c), (-d)$, и как на результат таких последовательных действий: вычитания из $(+a )$ числа $(+b)$, прибавления $(+c)$, вычитания $(+d)$ и т.д.

3. Умножение. При умножении двух чисел умножаются их абсолютные величины и перед произведением ставится знак плюс, если знаки сомножителей одинаковы, и минус, если они разные.

Схема (правило знаков при умножении):

$\qquad$Примеры.
$$(+2,4)\dot (-5) = -12;\qquad (-2,4)\cdot (-5) = 12;\qquad (-8,2)\cdot (+2) = -16,4.$$
При перемножении нескольких сомножителей знак произведения положителен, если число отрицательных сомножителей чётно, и отрицателен, если число отрицательных сомножителей нечётно.

$\qquad$Пример.
$$\left(+\dfrac{1}{3}\right)\cdot(+2)\cdot(-6)\cdot(-7)\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -14$$

(три отрицательных сомножителя);

$$\left(-\dfrac{1}{3}\right)\cdot(+2)\cdot(-3)\cdot(+7)\cdot\left(+\dfrac{1}{2}\right) = 7$$

(два отрицательных сомножителя).

4. Деление. При делении одного числа на другое делят абсолютную величину первого на абсолютную величину второго и перед частным ставится знак плюс, если знаки делимого и делителя одинаковы, и минус, если они разные (схема та же, что и для умножения).

$\qquad$Примеры.
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&(-6):(+3) = -2;
\qquad(+8):(-2) = -4;
\qquad(-12):(-12) = +1.
\end{aligned}
\end{equation*}