§11 Делимость двучлена $x^m \mp a^m $ на $x \mp a$

Primary tabs

Submitted by bahur on Fri, 01/31/2020 - 21:04

Forums:

  1. Разность одинаковых степеней двух чисел делится (без остатка) на разность этих чисел, т. е. $x^m - a^m$ делится на $x - a$. Этот признак, как и следующие, вытекает из теоремы Безу (§10).
    Частное состоит из членов и имеет следующий вид:
    $$\dfrac{x^m - a^m}{x - a} = x^{m-1} + ax^{m-2} + a^2x^{m-3} + \dots + a^{m-1}$$
    (показатели при $x$ непрестанно убывают на единицу; в то же время показатели при $a$ возрастают на единицу, так
    что сумма показателей неизменно равна $m - 1$; все коэффициенты равны $+1$).
    Примеры.
    \begin{equation*}
    \begin{aligned}
    &\dfrac{x^2 - a^2}{x - a} = x + a;\\
    &\dfrac{x^3 - a^3}{x - a} = x^2 + ax + a^2;\\
    &\dfrac{x^4 - a^4}{x - a} = x^3 + ax^2 + a^2x + a^3;\\
    &\dfrac{x^5 - a^5}{x -a} = x^4 + ax^3 + a^2x^2 + a^3x + a^4.
    \end{aligned}
    \end{equation*}
  2. Разность одинаковых чётных{/em} степеней двух чисел делится не только на разность этих чисел (пункт 1), но и
    на их сумму, т. е. $x^m - a^m$ при чётном $m$ делится и на {x - a} и на {x + a}. Во втором случае частное имеет вид: $x^{m-1} - ax^{m-2} + a^2x^{m-3} - \dots (знаки плюс и минус чередуются).
    Примеры.
    \begin{equation*}
    \begin{aligned}
    &\dfrac{x^2 - a^2}{x + a} = x - a;\\
    &\dfrac{x^4 - a^4}{x + a} = x^3 - ax^2 + a^2x - a^3;\\
    &\dfrac{x^6 - a^6}{x + a} = x^5 - ax^4 + a^2x^3 - a^3x^2 + a^4x - a^5.
    \end{aligned}
    \end{equation*}
    Замечание. Так как разность чётных степеней делится на $x - a$ и на $x + a$, то она делится и на $x^2 - a^2$.
    Примеры.
    \begin{equation*}
    \begin{aligned}
    &\dfrac{x^4 - a^4}{x^2 - a^2} = x^2 + a^2;\\
    &\dfrac{x^6 - a^6}{x^2 - a^2} = x^4 + a^2x^2 + a^2;\\
    &\dfrac{x^8 - a^8}{x^2 - a^2} = x^6 + a^2x^4 + a^4x^2 + a^6;
    \end{aligned}
    \end{equation*}
    Закон составления частных очевиден; он легко подводится под закон пункта $1$, например:
    $$\dfrac{x^8 - a^8}{x^2 - a^2} = \left[(x^2)^4 - (a^2)^4\right]:(x^2 - a^2) = (x^2)^3 + a^2(x^2)^2 + (a^2)^2x^2 + (a^2)^3.$$

    $2a.$ Разность одинаковых нечётных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел.
    Например, ни $x^3 - a^3$, ни $x^5 - a^5$ не делятся на $x + a$.

  3. Сумма одинаковых степеней двух чисел никогда не делится на разность этих чисел.
    Например, ни $x^2 + a^2$, ни $x^3 + a^3$, ни $x^4 + a^4$ не делятся на $x - a$.
  4. Сумма одинаковых нечётных степеней двух чисел делится на сумму этих чисел (в частном знаки плюс и минус чередуются).
    Примеры.
    $$\dfrac{x^3 + a^3}{x + a} = x^2 - ax + a^2;\\
    \dfrac{x^5 + a^5}{x + a} = x^4 - ax^3 + a^2x^2 - a^3x + a^4.$$
    $4a.$ Суммы одинаковых чётных степеней двух чисел не делятся не только на разность (пункт $3$), но и на сумму этих чисел. Например, $x^6 + a^6$ не делится ни на $x - a$, ни на $x +a$.
  • Log in to post comments
  • 1299 reads