§4.4 Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса.

Пусть даны в n-мерном пространстве два базиса: $ e_1, e_2, ..., e_n $ и $ e_n$ и $ f_1, f_2, ..., f_n.$ Пусть векторы $ f_1, f_2, ..., f_n$ выражаются через векторы базиса $ e_1, e_2, ..., e_n$ формулами
$$
\left.\begin{aligned}
f_1 = c_{11} e_1 + c_{21} e_2 + ... + c_{n1} e_n, \\
f_2 = c_{12} e_1 + c_{22} e_2 + ... + c_{n2} e_n, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
f_n = c_{1n} e_1 + c_{2n} e_2 + ... + c_{nn} e_n,
\end{aligned}\right\rbrace
\qquad \qquad (5) $$

Таким образом, $ c_{1k}, c_{2k}, ..., c_{nk}$ - координаты вектора $ f_k$ в базисе $ e_1, e_2, ..., e_n.$ Матрицу
$$ C= \begin{pmatrix}
c_{11} c_{12} & c_{1n} \\
c_{21} c_{22} & c_{2n} \\
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . \\
c_{n1} c_{n2} & c_{nn}
\end{pmatrix} $$
назовем матрицей перехода от базиса $ e_1, e_2, ..., e_n$ к базису $ f_1, f_2, ..., f_n.$

Пусть $ A=||\alpha_{ik} || $ есть матрица билинейной формы $ A (x; y) $ в базисе $ e_1, e_2, ..., e_n, $ а $ B = ||b_{ik} || $ - матрица той же билинейной формы в базисе $ f_1, f_2, ..., f_n. $ Наша задача состоит в том, что по матрице $ ||\alpha_{ik} ||$ найти матрица $ ||\alpha_{ik} ||. $

По определению [формула (4)] $ b_{pq} A = (f_p; f_q), $ т. е. $ b_{pq}$ - значение билинейной формы $ A(x; y) $ при $ x=f_p, y=f_q;$ для того чтобы найти его, воспользуемся формулой (3), подставив вместо $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n $ и $ \eta_1, \eta_2, ...., \eta_n$ координаты векторов $ f_p и f_q$ в базисе $ e_1, e_2, ..., e_n,$ т. е. числа $ c_{1p}, c_{2p}, ..., c_{np} $ и $ c_{1q}, c_{2q}, ..., c_{nq}. $ Получим:
$$ b_{pq} = A(f_p; f_q) = \sum_{i, k=1}^n \alpha_{ik} c_{ip} c_{kq}. \qquad \qquad (6) $$
Это есть искомая формула.

Запишем ее матричной форме. Для этого положим $ c'_{pi} = c_{ip}$; таким образом, $ c'_{pi}$ являются элементами матрицы $ C',$ транспонированной к матрице $C$. Тогда
$$ b_{pq} = \sum_{i, k=1}^n c''{pi} \alpha_{ik} c_{kq}. $$
В матричной форме это означает *):
$$ B = C' AC. \qquad \qquad (7) $$
Итак: если $ A$ и $ B$ суть матрицы билинейной формы $ A (x; y) $ соответственно в базисах $ e_1, e_2, ..., e_n$ и $ f_1, f_2, ..., f_n, $ то $ B = C' AC, $ где C - матрица перехода от базиса $ e_1, e_2, ..., e_n$ к базису $ f_1, f_2, ..., f_n, $ а $C'S$ - матрица, транспортирования к матрице С.