§4.3 Матрица билинейной формы

Мы определили билинейную форму аксиоматически. Выберем теперь в n-мерном пространстве какой-либо базис $ e_1, e_2, ..., e_n$ и выразим билинейную форму $ A(x; y)$ через координаты $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n $ и $ \eta_1, \eta_2, ..., \eta_n $ векторов $x$ и $ y$ в этом базисе. Мы имеем:
$$ A(x; y) = A (\xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n; \eta_1 e_1 + \eta_2 e_2 + ... + \eta_n e_n). $$
В силу свойств 1° и 2° билинейной формы
$$ A(\xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n; \eta_1 e_1 + \eta_2 e_2 + ... + \eta_n e_n) = \\ == \xi_1 \eta_1 A(e_1; e_1) + \xi_1 \eta_2 A(e_2; e_2) + ... + \xi_1 \eta_n A (e_1; e_n) + \\ + \xi_2 \eta_1 A(e_2; e_1) + \xi_2 \eta_2 A(e_2; e_2) + ... + \xi_2 \eta_n A(e_2; e_n) + \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ + \xi_n \eta_1 A(e_n; e_1) + \xi_n \eta_2 A(e_n; e_2) + ... + \xi_n \eta_n A (e_n; e_n), $$
или, короче
$$ A(x; y) = \sum_{i, k=1}^n A(e_i; e_k) \xi_i \eta_k. $$

Обозначим постоянные $ A(e: e_k)$ через $\alpha_{ik}$. Тогда имеем: при заданном базисе $ e_1, e_2, ..., e_n$ всякая билинейная форма в n-мерном пространстве может быть в виде
$$ A(x; y) \sum_{i, k=1}^n \alpha_{ik} \xi_i \eta_k, \qquad \qquad (3) $$
где $\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n$ - координаты вектора $ x, a, \eta_1, \eta_2, ..., \eta_n$ - координаты вектора $y$ в данном базисе. Числа $ \alpha_{ik}$ зависят от выбора базиса и вычисляются по формулам
$$ \alpha_{ik} = A(e_i; e_k). \qquad \qquad (4)$$

Матрица $ A = || \alpha_{ik} ||$ называется матрицей билинейной формы $ A(x; y) $ определяется своей матрицей $ A = || \alpha_{ik}. $

Пример. Пусть $ R$ - трехмерное пространство, векторами которого являются тройки чисел $ (\xi_1, \xi_2, \xi_3). $ Зададим в $ R$ билинейную форму $ A (x; y) $ формулой
$$ A(x; y) \xi_1 \eta_1 + 2 \xi_2 \eta_2 + 3 \xi_3 \eta_3. $$
Возьмём в $ R$ в качестве базиса три вектора
$$ e_1 = (1, 1, 1); e_2 = (1, 1, -1); e_3=(1, -1 -1). $$
Найдем матрицу $A$ билинейной формы $ A(x; y)$ в этом базисе. В силу (4) получим:
$$ a_{11} = 1 \cdot 1+ 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 = 6, \\ a_{12} = a_{21} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot (-1) = 0, \\ a_{22} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 (-1) \cdot (-1) = 6, \\ a_{13} = a_{31} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 (-1) + 3 \cdot 1 (-1) = -4, \\ a_{23} = a_{32} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 (-1) + 3 (-1) (-1) = 2, \\ a_{33} = 1 \cdot 1 + 2 (-1) \cdot (-1) + 3(-1) (-1) = 6, $$
т. е.
$$ A =
\begin{pmatrix}
6 & 0 & -4\\
0 & 6 & 2 \\
-4 & 2 & 6
\end{pmatrix}
$$
Таким образом, если обозначить через $ \xi_1', \xi_2', \xi_3'$ и $ \eta_1', \eta_2', \eta_3'$ координаты векторов $ x$ и $y$ в базисе $ e_1, e_2, e_3,$ то
$$ A(x; y) = 6 \xi_1' \eta_1' - 4 \xi_1' \eta_3' + 6 \xi_2' \eta_2' + 2 \xi_2' \eta_23' - 4 \xi_3' \eta_1' + 2 \xi_3' \eta_2' + 6 \xi_3' \eta_3'. $$