6 Приведение квадратичной формы к сумме квадратов треугольным преобразованием

1. В этом параграфе мы укажем ещё один способ построения базиса, в котором квадратичная форма приводится к сумме квадратов. В отличие от предыдущего параграфа мы дадим формулы, выражающие искомый базис $ e_1, e_2, ..., e_n$ непосредственно через исходный базис (а не в несколько шагов, как в параграфе 5).

При этом, однако, мы должны будем на форму $ A(x; y)$ и исходный базис $ f_1, f_2, ..., f_n$ наложить следующее ограничение: пусть $ || \alpha_{ik} || $ - матрица билинейной формы $ A (x; y) $ в базисе $ f_1, f_2, ..., f_n.$ Мы предположим, что следующие миноры матрицы $ || \alpha_{ik} || $ все отличны от нуля *):
$ \Delta_1 = \alpha_{11} ≠ 0; \Delta_2 = \begin{vmatrix}
\alpha_{11} & \alpha_{12} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} \\
\end{vmatrix} ≠ 0; \dots ; $
$ \qquad \qquad \qquad (1) \\
\Delta_n = \begin{vmatrix}
\alpha_{11} & \alpha_{12} \cdots \alpha_{1n} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} \cdots \alpha_{2n} \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
\alpha_{n1} & \alpha_{n2} \cdots \alpha_{nn}\\
\end{vmatrix} ≠ 0. $

В каждом базисе $ f_1, f_2, ..., f_n $ квадратичная форма $ A(x; x) $ имеет вид
$ A(x;x) = \sum_{i, k=1}^n \alpha_{ik} \xi_i \xi_k$, где $ \alpha_{ik} = A(f_i, f_k).$
Наша цель-определить векторы $ e_1, e_2, ..., e_n$ так, чтобы
$$ A(e_i; e_k) = 0 \text{при} i≠k (i, k=1, 2, ..., n). \qquad (2) $$

Процесс, с помощью которого это будет сделано, совпадает с процессом ортогонализации, описанным в (3.1), если заменить в этом процессе скалярное произведение векторов произвольной билинейной формой $ A(x; y), $ удовлетворяющей условиям (1).
*) Можно показать, что это требование равносильно тому, что приведении квадратичной формы к сумме квадратов по методу, описанной в параграфе 5, $ \alpha_{11} ≠ 0, \alpha_{22}^* $ и т. д. .

Будем искать векторы $ e_1, ..., e_n$ в виде
$$
\left.\begin{aligned}
e_1 = \alpha_{11} f_1, \\
e_2 = \alpha_{21} f&1 + \alpha_{22} f_2, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
e_n = \alpha_{n1} f_1 + \alpha_{n2} f_2 + ... + \alpha_{nn} f_n.
\end{aligned}\right\rbrace. \qquad (3)
$$
Коэффициенты $ \alpha_{ik} $ можно было найти из условий (2), подставив в эти условия вместо $ e_1, e_2, ..., e_n $ их выражения из (3). Однако это неудобно для вычислений, так как пришлось бы решать уравнения второй степени относительно $ \alpha_{ik} $. Поступим несколько иначе.
Если
$$ A(e_k; f_i) = 0 \text{для} i = 1, 2, ..., k-1, $$
то
$$ A (e_k; e_i) = 0 \text{для} i = 1, 2, ..., k-1. $$
Действительно, подставляя вместо $ e_i$ выражение
$$ \alpha_{i1} f_1 + \alpha_{i2} f_2 + ... + \alpha_{ii} f_i, $$
получаем:
$$ A(e_k; e_i) = A (e_k; \alpha_{i1} + \alpha_{i2} f_2 + ... + \alpha_{ii} f_i) = \\ = \alpha_{i1} A (e_k; f_1) + \alpha_{i2} A (e_k; f_2) + ... + \alpha_{ii} A (e_k; f_i). $$
Таким образом, если $ A ( e_k; f_i) = 0 $ для любого $k$ и любого $ i k, $ т. е. $ e_1, e_2, ..., e_n $ - требуемый базис. Наша задача сведена, таким образом, к следующей:
определить коэффициенты $ \alpha_{k1}, \alpha_{k2}, ..., \alpha_{kk} $ так, чтобы вектор
$$ e_k = \alpha_{k1} f_1 + \alpha_{k2} f_2 + ... + \alpha_{kk} f_k $$
удовлетворял условиям
$$ A(e_k; f_i) = 0, i=1,2, ..., k-1. \qquad (4) $$

Этими условиями вектор $ e_k$ определяется с точностью до постоянного множителя. Зафиксируем этот множитель с помощью требования
$$ A(e_k; f_k) = 1. \qquad (5) $$
Мы увидим сейчас, что условиями (4) и (5) вектор $ e_k$ определен уже однозначно.

Подставив в (4) и (5) выражение для $ e_k$, мы получим следующую систему уравнений первой степени относительно $ \alpha_{ki}:$
$$
\left.\begin{aligned}
\alpha_{k1} A(f_1; f_1) + \alpha_{k2} A(f_1; f_2) + ... \alpha_{kk} A (f_1; f_k) = 0, \\
\alpha_{k1} A(f_2; f_1) + \alpha_{k2} A(f_2; f_2) + ... \alpha_{kk} A (f_2; f_k) = 0, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . \\
\alpha_{k1} A(f_{k-1}; f_1) + \alpha_{k2} A (f_{h-1} ; f_2) + ... + \alpha_{kk} A (f_{k-1}; f_k) = 0, \\
\alpha_{k1} A (f_k; f_1) + \alpha_{k2} A (f_k; f_2) + ... + \alpha_{kk} A (f_k; f_k) = 1.
\end{aligned}\right\rbrace \qquad (6)
$$
Определитель этой системы управления равен
$$
\Delta_k =
\begin{vmatrix}
A(f_1; f_1) & A (f_1; f_2) \cdots A(f_1; f_k) \\
A(f_2; f_1) & A(f_2; f_2) \cdots A(f_2; f_k) \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .\\
A(f_k; f_1) & A(f_k; f_2) \cdots A(f_k; f_k)
\end{vmatrix} \qquad (7)
$$
и по условию (1) отличен от нуля. Поэтому решение системы (6) существует и единственно. Таким образом, задача нахождения вектора $ e_k$ нами решена для любого $k.$

Найдем теперь коэффициенты $ b_{ik} $ квадратичной формы $ A(x; x) $ в базисе $ e_1, e_2, ..., e_n. $ Как нам уже известно,
$$ b_{ik} = A(e_i; e_k). $$
По построению этого базиса, $ A (e_i; e_k) = 0 \text{при} i ≠k,$ т. е. $ b_{ik} = 0 text{при} i≠k. $
Вычислим $ b_{kk} = A(e_k; e_k):
A(e_k; e_k) = A(e_k; \alpha_{k1} f_1 + \alpha_{k2} f_2 + ... + \alpha_{kk} f_k) = \\ = \alpha_{k1} A (e_k; f_1) + \alpha_{k2} A (e_k; f_2) + ... + \alpha_{kk} A (e_k; f_k) *) $
и в силу условий (4) и (5)
$$ A (e_k; e_k) = \alpha_{kk}. $$
Число $ \alpha_{kk} $ можно найти из системы (6); согласно правилу Крамера
$$ \alpha_{kk} = {{ \Delta_{k -1}} \over {\Delta_k}}, $$
где $ \Delta_{k-1} $ - определитель, аналогичный (7) порядка $ k-1$, и где положено $ \Delta_0 = 1. $
Таки образом,
$$ b_{kk} = A (e_k; e_k) = {{ \Delta_{k-1}} \over { \Delta_k}} $$
Итак, доказана следующая
Теорема 1. Пусть в базисе $ f_1, f_2, ..., f_n $ квадратичная форма имеет вид
$$ A(x; x) = \sum \alpha_{ik} \eta_i \eta_k, \text{где} \alpha_{ik} = A(f_1; f_k). $$
Пусть, далее, определители
$$ \Delta_1 = \alpha_{11}, \Delta_2 = \begin{vmatrix}
\alpha_{11} & \alpha_{12} \cdots \alpha_{1n} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} \cdots \alpha_{2n} \\
. . . . . . . . . . . .. . . . \\
\alpha_{n1} & \alpha_{n2} \cdots \alpha_{nn}
\end{vmatrix} $$
отличны от нуля. Тогда существует базис $ e_1, e_2, ..., e_n, $ в котором $ A(x;x) $ записывается в виде суммы квадратов следующим образом
$$ A(x; x) = {{ \Delta_0} \over { \Delta_1}} \xi_1^2 + {{ \Delta_1} \over { \Delta_2}} \xi_1^2 + ... + {{ \Delta_{n-1}} \over { \Delta_n}} \xi_n^2, $$
где $ \xi_k $ - координаты вектора $x$ в базисе $ e_1, e_2, ..., e_n. $
Этот способ приведения квадратичной формы к сумме квадратов обычно называется методом Якоби.

Замечание. В процессе доказательства теоремы мы пришли к некоторому вполне определенному базису $ e_1, e_2, ..., e_n.$ Это, конечно, не означает, что базис, в котором квадратичная форма приводится к сумме квадратов, вообще единствен. Действительно, если взять другой исходный базис $ f_1, f_2, ..., f_n $ (даже просто, если занумеровать его векторы в другом порядке), то описанный выше процесс приведет нас, вообще говоря, к другому базису $ e_1, e_2, ..., e_n $ ( не говоря уже о том, что базис $ e_1, e_2, ..., e_n$ не обязательно искать в виде (3)).
Пример. Рассмотрим квадратичную форму
$$ 2 \xi_1^2 + 3 \xi_1 \xi_2 + 4 \xi_1 \xi_3 + \xi_2^2 + \xi_3^2 $$
в трехмерном пространстве с базисом
$$ f_1 = (1, 0, 0), f_2 = (0, 1, 0), f_3 = (0, 0, 1). $$
Соответствующая ей билинейгпя форма имеет вид
$$ A(x; y) = 2 \xi_1 \eta_1 + {{3} \over {2}} \xi_1 \eta_2 + 2 \xi_1 \eta_3 + {{3} \over {2}} \xi_2 \eta_1 + \xi_2 \eta_2 + 2 \xi_3 \eta_1 + \xi_3 \eta_3. $$
Вычеслив определители $ \Delta_1, \Delta_2$ и $\Delta_3$, получим, что они равны соответственно $ 2, - {{1} \over {4}} $ и $ - 4 {{1} \over {4}} $, т. е. ни один из них не нуль. Условия теоремы, таким образом, выполнены. Положим
$$ e_1 = \alpha_{11} f_1 \qqud = ( \alpha_{11}, 0, 0), \\ e_2 = \alpha_{21} f_1 + \alpha_{22} f_2 = ( \alpha_{21}, 0), \\ e_3 = \alpha_{31} f_1 + \alpha_{31} f_2 + \alpha_{32} f_2 + \alpha_{33} f_3 = ( \alpha_{31}, \alpha_{32}, \alpha_{33}). $$
Коэффициент $ \alpha_{11} $ находим из условия
$$ A(e_1; f_1) = 1, $$
т. е. $ 2 \alpha_{11} = 1, $ или $ \alpha_{11} = {{1} \over {2}} $ и, значит,
$$ e_1= {{1} \over {2}} f_1 = ( {{1} \over {2}}, 0, 0). $$
Для $ \alpha_{21} $ и $ \alpha_{22} $ имеем два уравнения
$$ A (e_2; f_1} = 0; A (e_2; f_2) = 1, $$
или
$$ 2 \alpha_{21} + {{3} \over {2}} \alpha_{22} = 0; {{3} \over {2}} \alpha_{21} + \alpha_{22} = 1, $$
откуда
$$ \alpha_{21} = 6, \alpha_{22} = -8, $$
т. е. $ e_2 = 6 f_1 - 8 f_2 = (6; -8; 0). $
Наконец, для $ \alpha_{31}, \alpha_{32}, \alpha_{33} $ имеем систему уравнений
$$ A(e_3; f_1) = 0, A(e_3; f_2) = 0, A (e_2; f_3) = 1, $$
т. е.
$$ 2 \alpha_{31} + {{3} \over {2}} \alpha_{32} + 2 \alpha_{33} = 0, \\ {{3} \over {2}} \alpha_{31} + \alpha_{32} = 0, \\ 2 \alpha_{31} + \alpha_{33} = 1, $$
откуда
$$ \alpha_{31} = {{8} \over {17}}; \alpha_{32} = - {{12} \over {17}}; \alpha_{33} = {{1} \over {17}}, $$
т. е.
$$ e_3= {{8} \over {17}} f_1 - {{12} \over {17}} f_2 + {{1} \over {17}} f_3 = ( {{8} \over {17}}, - {{12} \over {17}}, {{1} \over {17}}). $$
Квадратичная форма в базисе $ e_1, e_2, e_3$ имеет вид
$$ A(x; x) = {{1} \over { \Delta_1 }} \xi_1^2 + {{ \Delta_1} \over { \Delta_2 }} \xi_2^2 + {{ \Delta_2} \over { \Delta_3}} \xi_3^2 = {{1} \over {2}} \xi_1^2 - \xi_2^2 + {{1} \over {17}} \xi_3^2, $$
где $ \xi_1, \xi_2, \xi_3$ координаты вектора $x$ в базисе $ e_1, e_2, e_3. $

2. Выше при доказательстве теоремы 1 мы не только построили базис, в котором данная квадратичная форма записывается как сумма квадратов координат, но и получили вполне определенные выражения для коэффициентов при этих квадратах, а именно:
$$ {{1} \over { \Delta_1}}, {{ \Delta_1} \over {\Delta_2}}, ..., {{ \Delta_{n-1}} \over {\Delta_n}}, $$
так что квадратичная форма имеет вид
$$ {{1} \ober {\Delta_1}} \xi_1^2 + {{\Delta_1} \over {\Delta_2}} \xi_2^2 + ... + {{ \Delta_{n-1}} \over {\Delta_n}} \qquaf (8) $$
Это даёт возможность найти число положительных и отрицательных коэффициентов при квадратах. Именно, если $ \Delta_{i-1}$ и $ \Delta_i$ имеют одинаковые знаки, то коэффициент при $ \xi_i^2 $ ,положителен, если же их знаки различны, то этот коэффициент отрицателен, т. е. число отрицательных коэффициентов при квадратах равно числу перемен знака в ряду
$$ 1, \Delta_1, \Delta_2, ..., \Delta_n. $$
Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 2. Число отрицательных коэффициентов при квадратах координат в каноническом виде (8) квадратичной формы равно числу перемен знака в последовательности определителей
$$ 1, \Delta_1, \Delta_2, ..., \Delta_n. *) $$
Пусть, в частности, $ \Delta_1 > 0, \Delta_2 > 0, ..., \Delta_n > 0. $ Тогда существует базис $ e_1, e_2, ..., e_n, $ в котором квадратичная форма имеет вид
$$ A(x; x) = \lambda_1 \xi_1^2 + \lambda_2 \xi_2^2 + ... + \lambda_n \xi_n^2, $$
причем все $ \lambda_i > 0. $ Следовательно, $ A(x; x) \geqslant 0$ для всякого $ x$, и притом равенство
$$ A(x; x) = \sum \lambda_i \xi_i^2 = 0 $$
возможно, лишь если
$$ \xi_1 = \xi_2 = ... = \xi_n = 0. $$
Иначе говоря:

Если $ \Delta_1 > 0, \Delta_2 > 0, ..., \Delta_n > 0, $ то квадратичная форма $ A(x; x) $ - положительно определенная.
Обратно, пусть $ A(x; x) $ - положительно определенная квадратичная форма. Покажем, что в этом случае
$$ \Delta_k > 0 ( k=1, 2, ..., n); $$
для этого покажем раньше, что $ \Delta_k ≠ 0. $ Предположим противное, т. е. что
$$ \Delta_k = \begin{vmatrix}
A(f_1; f_1) A(f_1; f_2) .... A(f_1; f_k) \\
A(f_2; f_1) A(f_2; f_2) .... A(f_2; f_k) \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
A(f_k; f_1) A(f_k; f_2) .... A(f_k; f_k)
\end{vmatrix} = 0; $$
тогда одна из строк этого определителя есть линейная комбинация остальных, т. е.
$$ \mu_1 A(f_1; f_i) + \mu_2 A(f_2; f_i) + ... + \mu_k A(f_k; f_i) = 0, i= 1, 2, ..., k, $$ где не все $ \mu_i $ равны нулю. Но тогда
$$ A (\mu_1 f_1 + \mu_2 f_2 + ... + \mu_k f_k; \mu_1 f_1 + \mu_2 f_2 + ... + \mu_k f_k) = 0, $$
в то время как
$$ \mu_1 f_1 + \mu_2 f_2 + ... + \mu_k f_k ≠ 0, $$
что противоречит определению положительно определенной квадратичной формы.

Следовательно, согласно теореме 1, $ A(x; x) $ можно привести к виду
$$ A (x; x) = \lambda_1 \xi_1^2 + ... + \lambda_n \xi_n^2, $$
где
$$ \lambda_k = {{ \Delta_{k-1}} \over { \Delta_k}}. $$

Так как для положительно определенной квадратичной формы все $ \lambda_k > 0, $ то и все $ \Delta_k > 0. $ (Напомним, что $ \Delta_0 = 1.) $ Итак, нами доказана

Теорема 3. Пусть $ A(x; y) $ - симметричная билинейная форма и $ f_1, f_2, ..., f_n $ базис в n-мерном пространстве $ R$. Для того чтобы квадратичная форма $ A(x; x) $ была положительно определенной, необходимо и достаточно чтобы
$$ \Delta_1 > 0, \Delta_2 > 0, ..., \Dwlta_n > 0. $$
Эта теорема называется условием Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

Мы могли бы взять вместо $ f_1, f_2, ..., f_n $ какой-либо другой базис и написать условия положительной определенности формы $ A(x; x) $ через векторы этого нового базиса. В частности, если мы в качестве нового базиса возьмём те же самые векторы $ f_1, f_2, ..., f_n, $ но только в другом порядке, то новыми минорами $ \Delta_1, \Delta_2, ..., \Delta_n $ будут различные главные миноры ") матрицы $ || \alpha_{ik} ||. $$ Отсюда вытекает интересное следствие.

Если все главные миноры $ \Delta_1, \Delta_2, ..., \Delta_n $ матрицы $ || \alpha_{ik} || $ квадратичной формы $ A (x; x) $ в данном базисе положительны, то вообще все главные миноры в этой матрице положительны.