§16.3 Приведение квадратичной формы в ортогональном базисе к сумме квадратов. (Приведение к главным осям).

Пусть в n-мерном евклидовом пространстве задана симметричная билинейная форма $A(x; y).$ Как было показано выше, каждой симметричной ьилинейной форме $A(x; y)$ соответствует такое линейное самосопряженное преобразование $A,$ что $A(x; y) = (Ax, y).$

Согласно теореме 2 этого параграфа, существует Ортогональный нормированный базис $e_1, e_2, ..., e_n,$ состоящий из собственных векторов преобразования $A$ (т. е. такой, что $Ae_i = \lambda_i e_i).$ В этом базисе мы имеем:
$$ A(x; y) = (Ax, y) = \\
== (A(\xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n), \eta_1 e_1 + \eta_2 e_2 + ... + \eta_n e_n) = \\
= (\lambda_1 \xi_1 e_1 + \lambda_2 \xi_2 e_2 + ... + \lambda_n \xi_n e_n, \eta_1 e_1 + \eta_2 e_2 + ... + \eta_n e_n) = \\
= \lambda_1 \xi_1 \eta_1 + \lambda_2 \xi_2 \eta_2 + ... + \lambda_n \xi_n \eta_n.$$
Полагая $y=x,$ получаем следующую теорему:

Теорема 3. Пусть $A(x; x)$- квадратичная форма в n-мерном евклидовом пространстве. Тогда существует ортогональный нормированный базис, в котором эта квадратичная форма имеем вид:
$$ A(x; x) = \sum \lambda_i \xi_i^2. $$
Так как $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ являются собственными значениями $A,$ то они могут быть найдены из характерестического уравнения матрицы $||a_{ik}||.$

Для случая трехмерного пространства доказанная здесь теорема рассматривается в аналитической геометрии. Действительно, в этом случае уравнение
$$ A(x; x) = 1$$
есть уравнение центральной поверхности второго порядка. Ортогональный нормированный базис, о котором идёт речь в теореме 3, есть в этом случае система координат, в которой поверхность имеет канонический вид, а векторы $e_1, e_2, e_2$ являются направлениями главных осей поверхности второго порядка.