§19.1 Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования

Пусть $\lambda_0$- некоторое собственное значение преобразования $A.$ Мы уже имели раньше такое определение.

Определение 1. Вектор $x ≠ 0$ называется собственным вектором преобразования $A,$ отвечающим собственному значению $\lambda_0,$ если
$$ Ax = \lambda_0 x, \text{т. е.} (A - \lambda_0 E) x = 0. \qquad (1)$$

Рассмотрим совокупность всех векторов, удовлетворяющих условию (1) при фиксированном $\lambda_0$. Ясно, что совокупность этих векторов является подпространством пространства $R.$

Мы обозначим его $ N_{\lambda_0}^1.$ Легко видеть, что $ N_{\lambda_0}^1$ инвариантно относительно преобразования $A$ (проверьте!).

Заметим, что подпространство $ N_{\lambda_0}^1$ состоит из всех собственных векторов преобразования $A,$ отвечающих собственному значению $\lambda_0,$ к которым добавлен ещё нулевой вектор.

Определение 2. Вектор $x$ называется присоединенным вектором 1-го порядка преобразования $A,$ отвечающим собственному значению $\lambda_0,$ если вектор
$$ y = (A-\lambda_0 E)x $$
является собственным вектором преобразования $A.$

Пусть $\lambda_0$ - собственное значение преобразования $A.$

Рассмотрим подпространство, состоящее из всех векторов $x$, для которых выполнено условие
$$ (A-\lambda_0 E)^2 x = 0, \qquad (2)$$
т. е. ядро преобразования $(A-\lambda_0 E)^2.$ Обозначим это подпространство $ N_{\lambda_0}^2$ является инвариантным подпространством пространства $R.$ В самом деле, пусть $x \in N_{\lambda}^2$, т. е. $ (A - \lambda_0 E)^2 x = 0.$ Нам надо доказать, что и вектор $ Ax \in N_{\lambda_0}^2,$ т. е. что $(A - \lambda_0 E)^2 Ax = 0.$ Но преобразование $A$ перестановочно с $(A - \lambda_0 E)^2, $ т. е.
$$ (A - \lambda_0 E)^2 Ax = A(A - \lambda_0 E)^2 x = 0. $$

Рассмотрим несколько более подробно структуру пространства $ N_{\lambda_0}^2.$ В нем есть векторы двух типов.

Если $ x \in N_{\lambda_0}^1,$ т. е. $(A - \lambda_0 E) x = 0,$ то подавно и $ (A - \lambda_0 E)^2 x = 0,$ т. е. $ x \in N_{\lambda_0}^2.$ Таким образом, $ N_{\lambda_0}^1$ целиком содержится в $ N_{\lambda_0}^2.$ Если $ x \in N_{\lambda_0}^2,$ но $ x \overline{\in} N_{\lambda_0}^1,$ т. е.
$$ (A - \lambda_0 E) x ≠ 0, \\
(A - \lambda_0 E)^2 x = 0,$$
то $x$ - присоединенным вектор 1-го порядка. Действительно, в этом случае $ y = (A - \lambda_0 E)x$ есть собственный вектор.

Таким образом, подпространство $ N_{\lambda_0}^2$ получается, если к подпространству $ N_{\lambda_0}^1$ добавить присоединенные векторы 1-го порядка.

Аналогично вводим подпространство $ N_{\lambda_0}^k$, состоящее из всех векторов $x,$ для которых
$$ (A - \lambda_0 E)^k x = 0. \qquad (3)$$

Это подпространство инвариантно относительно преобразования $A.$ Ясно, что подпространство $ N_{\lambda_0}^k$ содержит предыдущее подпространство $ N_{\lambda_0}^{(k-1)}.$

Определение 3. Вектор $x$ называется присоединенным вектором k-го порядка, если вектор
$$ y = (A - \lambda_0 E) x $$
есть присоединенным вектор порядка $k-1$.

По индукции можно показать, что если $x$ - присоединенным вектор k-го порядка, то
$$ (A - \lambda_0 E)^k x ≠ 0, \\
(A - \lambda_0 E)^{k+1} x = 0.$$

Другими словами, присоединенным вектором k-го порядка называется вектор, принадлежащий $ N_{\lambda_0}^{k+1}$ и не принадлежащий $ N_{\lambda_0}^k.$

Пример. Пусть $R$- пространство многочленов степени $ \leqslant n -1$ и преобразование $ A$ - дифференцирование:
$$ AP (t) = {{d} \over {dt}} P(t).$$

Легко видеть, что $ \lambda = 0$ есть собственное значение. Соответствующий ему собственный вектор $P(t) = const.$ Найдем для этого преобразования подпространства $ N_0^k$. По определению $N_0^k$ состоит из всех многочленов $P(t),$ для которых $A^k P(t) = 0,$ т. е.
$$ {{d^k} \over {dt^k}} P(t) = 0.$$

Это будут все многочлены, степень которых не превышает $k-1$. Присоединенным векторами k-го порядка будут многочлены, степень которых в точности равна $k-1$.

В этом примере размерность каждого из подпространств равна $ N_0^k$ и она растет от 1 до $n$ вместе с ростом $k$. Подпространство $N_0^n$ уже совпадает со всем пространством $R,$ и если мы захотим определять $ N_0^{n+1}, N_0^{n+2}$ и т. д., то все эти подпространства будут совпадать с $ N_0^n.$

Легко видеть также, что в этом примере $ AN_0^{k+1} = N_0^k.$ Это следует из того, что каждый многочлен степени $ k$ есть произволная от многочлена степени $ k+1$.

Упражнение. Показать, что для любого линейного преобразования $A$ имеет место равенство
$$ (A - \lambda_0 E) N_{\lambda_0}^{k+1} = N_{\lambda_0}^k.$$

Пусть $A$ - линейное преобразование, а $ \lambda_0$- его собственное значение. Покажем, что подпространства $ N_{\lambda_0}^1, N_{\lambda_0}^2, ... $ сначала строго возрастают с ростом индекса, а затем, начиная с некоторого номера $ p \leqslant n,$ этот рост прекращается, т. е.
$$ N_{\lambda}^p = N_{\lambda_0}^{p+1} = ... $$

Мы уже показали, что каждое подпространство $ N_{\lambda_0}^k$ содержит $ N_{\lambda_0}^{k-1},$ т. е. что с увеличением номера подпространства $ N_{\lambda_0}^k,$ а значит, и их размерности, могут только увеличиваться.

Так как наше пространство конечномерно, то для какого-то $ p \leqslant n$ мы впервые получим, что $ N_{\lambda_0}^p = N_{\lambda_0}^{p+1}$.

Докажем, что в этом случае $ N_{\lambda_0}^{p+1} = N_{\lambda_0}^{p+2k} = ..., $ т. е. что дальнейшего возрастания подпространств происходить не будет.

Действительно, предположим противное, а именно, что $ N_{\lambda_0}^{p+1} = N_{\lambda_0}^{p},$ но для некоторого $ i > 0$ подпространство $ N_{\lambda_0}^{p+i+1} $ строго больше, чем $ N_{\lambda_0}^{p+i}.$ Тогда существует вектор $x$ такой, что
$$ x \in N_{\lambda_0}^{p+i+1}, x \overline{\in} N_{\lambda_0}^{p+i}. $$
Это значит, что
$$ (A - \lambda_0 E)^{p+i+1} x = 0, \text{но} (A - \lambda_0 E)^{p+1} x ≠ 0. \qquad (4)$$

Обозначим через $y$ вектор $ y = (A - \lambda_0 E)^i x.$ Тогда первое из равенств (4) означает, что $ y \in N_{\lambda_0}^{p+1},$ а второе, что $ y \overline{\in} N_{\lambda_0}^p,$ что невозможно, так как подпространства $ N_{\lambda_0}^{p+1}$ и $ N_{\lambda_0}^p$ по предположению совпадают.

Итак, пусть $ \lambda_0$- некоторое собственное значение преобразования $A.$ Основным результатом этого пункта является построение инвариантного подпространства $ N_{\lambda_0}^p, $ состоящего из всех собственных и присоединенных векторов, отвечающих этому собственному значению.

Кроме того, в п. нам понадобится более детальная структура $ N_{\lambda_0}^p.$ А именно, обозначая через $N_{\lambda_0}^k$ подпространство, состоящее из присоединенных векторов порядка $ \leqslant k -1,$ мы получили возрастающую цепочку инвариантн ых подпространств
$$ 0 \in N_{\lambda_0}^1 \in N_{\lambda_0}^2 ... \in N_{\lambda_0}^p. \qquad \qquad (5)$$
Все члены цепочки различны. Подпространство $ N_{\lambda_0}^k$ состоит при этом из всех векторов $x,$ для которых
$$ (A - \lambda_0 E)^k x = 0, $$
т. е. это есть ядро преобразования $(A - \lambda_0 E)^k.$

Преобразование $ A - \lambda_0 E$ переводит каждое из подпространств цепочки (5) в предшествующее.