§25.4 Тензорное произведение $ R_1 \otimes ... \otimes R_m.$

Определяя Тензорное произведение $ R \otimes R,$ мы фактически нигде не пользовались тем, что векторы $x, y$ в произведении $ x \otimes y$ берутся из одного и того же пространства. Поэтому, повторяя дословно определения пункта 1, можно определить также Тензорное произведение $ R_1 \otimes R_2$ двух различных пространств $ R_1$ и $R_2.$

Если $ e_1, ..., e_m$ - базис в $ R_1,$ а $ f_1, ..., f_n$ - базис в $ R_2, $ то базисом в $ R_1 \otimes R_2$ служат $ mn$ векторов $ e_i \otimes f_j (i = 1, ..., m; i=1, ..., n)$.

Отметим, что пространства $ R_1 \otimes R_2$ и $ R_2 \otimes R_1$ различны по определению.

Аналогично определяется Тензорное произведение любого числа линейных пространств. Так, например, элементами тензорного произведения $ R_1 \otimes R_2 \otimes R_3$ являются формальные суммы.
$$ x_1 \otimes y_1 \otimes z_1 + ... + x_k \otimes y_k \otimes z_k, \qquad \qquad (4)$$
где $ x_i$ -элементы из $ R_1, y_i$ - элементы из $ R_2$ и $ z_i$ - элементы из $ R_3.$ Операции сложения и умножения на число определяются так же, как и в случае двух сомножителей. Читателю предлагается установить, какие выражения вида (4) при этом следует считать равными.

Тензорное произведение $ m$ линейных пространств
$ R_1, ..., R_m$ часто обозначают так: $ \otimes_{i=1}^m R_i.$ В случае, когда все сомножители $ R_i$ совпадают с одним и тем же пространством $ R,$ их Тензорное произведение называется $ m$-й тензорном степенью $ R$ и обозначается так: $ \otimes^m R.$