§26.2 Случай кратных собственных значений

Рассмотрим теперь случай, когда $ \lambda$ есть $r$- кратное собственное значение преобразования $ A.$ Обозначим через
$$ f_1, f_2, ..., f_r \qquad \qquad (1)$$
какие-либо $ r$ попарно ортогональных собственных векторов преобразования $ A,$ отвечавших этому собственному значению $ \lambda.$ Заметим, что, так как $ e_i (i=1, 2, ..., r)$ отвечают одному и тому же собственному значению $ \lambda,$ то линейная комбинация этих векторов также будет собственным вектором, отвечающим этому собственному значению. Этими линейными комбинация и преобразования $ A,$ отвечающие собственному значению $ \lambda.$

При замене преобразования $ A$ на $ A + \epsilon B$ собственное значение перестанет, вообще говоря, быть кратным, и вместо $ \lambda $ мы получим $ r$ собственных значений $ \lambda_1 (\epsilon), \lambda_2 (\epsilon), ..., \lambda_r (\epsilon).$ Соответствующие нормированные собственные векторы обозначим через $ e_1 (\epsilon), ..., e_r (\epsilon).$

Например, если $ A$- единичное преобразование, т. е. $ A = E,$ в $n$-мерном пространстве, а $ B$- произвольное самосопряженное преобразование с попарно различными собственными значениями $ \lambda_1, ..., \lambda_n,$ то $ A = E$ имеет $n$ - кратное собственное значение 1, а $ A + \epsilon B = E + \epsilon B$ имеет $n$ различных собственных значений $ 1 + \lambda_1 \epsilon, 1 + \lambda_2 \epsilon, ..., 1 + \lambda_n \epsilon.$

Аналогично случаю простых собственных значений $ \lambda_i (\epsilon)$ и $ e_i (\epsilon)$ являются непрерывными и дифференцируемыми функциями от $ \epsilon.$ При $ \epsilon → 0 \lambda_i (\epsilon)$ стремятся к собственному значению $ A,$ т. е. к $ \lambda_i.$ Мы имеем
$$ \lambda_i (\epsilon) = \lambda_i + \epsilon \lambda_i^1 + \epsilon^2 \lambda_i^2 + ... \qquad \qquad (2)$$
Для собственных векторов $ e_i (\epsilon)$ преобразования $ A + \epsilon B$ мы имеем аналогичное равенство
$$ e_i (\epsilon) = e_i + \epsilon e_i^1 + \epsilon^2 e_j^2 + ... \qquad (3)$$
$ e_i = lim e_i (\epsilon),$ и значит, $ e_i$ есть собственный вектор преобразования $ A,$ отвечающий собственному значению $ \lambda.$ Следовательно, $ e_i$ есть какая-то, заранее нам неизвестная, линейная комбинация векторов (1). Таким образом, в отличие от случая некратных собственных значений, сами $e_i$ также подлежат определению. Подставивим в равенство $ (A + \epsilon B) e_i (\epsilon) = \lambda_i (\epsilon) e_i (\epsilon)$ выражения (2) и (3). Сравнивая, как и в предыдущем случае, коэффициенты при $ \epsilon,$ получаем
$$ Be_i + Ae_i^1 = \lambda e_i^1 + \lambda_i^1 e_i, i=1, ..., r. \qquad \qquad (4)$$

Здесь вектор $ e_i$ является, как было указано, линейной комбинацией собственных векторов $ f_1, ..., f_r:$
$$ e_i = \eta_1 f_1 + \eta_2 f_2 + ... + \eta_r f_r.$$

Наша цель - найти число $ \lambda_i^1$ и вектор $ e_i, $ т. е. числа $ \eta_1, ..., \eta_r.$

Умножая обе части (4) скалярно на $ f_k,$ получим
$$ (Be_i, f_k) + (Ae_i^1, f_k) = (\lambda e_i^1, f_k) + \lambda_i^1 (e_i, f_k), $$
или, так как $ (Ae_i^1, f_k) = (e_i^1, Af_k) = \lambda (e_i^1, f_k), \\
(Be_i, f_k) = \lambda_i^1 (e_i, f_k).$

Подставляя в левую часть этого равенства вместо $ e_i$ его выражение и замечая, что $ (e_i, f_k) = \eta_k,$ получим
$$ \sum_{p=1}^r (Bf_p, f_k) \eta_p = \lambda_i^1 \eta_k, \qquad \qquad (5)$$
или
$$ \sum_{p=1}^r b_{kp} \eta_p = \lambda_i^1 \eta_k, \qquad (1)$$
где
$$ (Bf_p, f_k) = b_{kp}.$$

Итак, числа $ \lambda_i^1$ являются собственными значениями матрицы $ ||b_{kp}||, k, p=1, 2, ..., r,$ т. е. определяются из уравнения
$$ Det ||b_{ik} - \lambda \sigma_{ik}|| = 0,$$
а вектор $e_i$ определяется формулой
$$ e_i = \eta_1 f_1 + ... + \eta_r f_r,$$
где числа $ \eta_i$ находится из уравнения (1).

Аналогично можно было бы найти поправки к собственным векторам, т. е. $ e_k^1, e_k^2,$ и следующие поправки к собственным значениям, т. е. $ \lambda_k^2.$