Краевая задача и ее оператор

Краевая задача и ее оператор

Итак попробуем разобраться с краевой задачей и её оператором

Далее по учебнику Копачевсвского:

Сама задача

Остановимся сначала на наиболее простом случае, когда рассматрива-емая краевая задача одномерна. Пусть изучается неоднородная задача для уравнения $ (1.1)$

$\Large - (p(x)u')' + q(x)u = f(x),\;\;\; a с однородными краевыми условиями Дирихле:
$ u(a) \; = \;u(b)\; =\; 0\;\;\;\; (1.2) $
Считаем, что здесь функции $\Large p = p(x) ? C^1([a,\,b])$ и $\Large q = q(x) ? C([a, b])$ – это заданные переменные коэффициенты дифференциального выражения, стоящего в левой части (1.1), а $\Large f (x)$ – заданная функция, правая часть уравнения. Требуется найти функцию $\Large u(x)$ как решение задачи (1.1), (1.2).

Оператор краевой задачи

Для изучения этой задачи применяются методы теории линейных неограниченных операторов, действующих в гильбертовом прострастве. Выберем в качестве основного гильбертова пространства $\Large H$ вещественное пространство $\Large L_2(a, b)$ функций $\Large {u(x)}$, для которых скалярное произведение определено по закону:
$\Large \displaystyle (u, v) := \int\limits_a^b u(x)v(x)dx, \;\;\; (1.3)$

а норма функции равна:
$\Large \displaystyle ||u||^2 := \int\limits_a^b |u(x)|^2 dx, \;\;\; (1.4)$
где справа стоит интеграл Лебега.

Введем в рассмотрение множество $\Large D (A) ? H$, для элементов $\Large u(x)$ которого выполнены свойства
$\Large D(A) := \{u(x) \in H: - (p(x)u')' + q(x)u \in C([a, b] \subset H, \;\;\;\;\; (1.5)
\\ \\
\Large a

и будем трактовать задачу (1.1)–(1.2) как уравнение вида

$\Large Au = f, f ? H, \;\;\;\;\; (1.6)$

рассматриваемое в гильбертовом пространстве $\Large H$. Здесь в левой части стоит результат применения к элементу $\Large u(x)$ из $\Large D (A)$ оператора A, действующего в $\Large H$ по закону:A

$\Large (Au)(x) := -(p(x)u')' + q(x)u. \;\;\;\;\; (1.7)$

Таким образом, краевая задача (1.1)–(1.2) заменяется операторным уравнением (1.6) в пространстве $\Large H$. Если оператор A имеет в $\Large H$ ограниченный обратный, то решение задачи (1.6) имеет вид $\Large u = A^{?1}f$.

Рассмотрим простейший пример задачи вида (1.1)–(1.2).

Пример

Пример 1.1.1. Пусть в (1.1), (1.2) будет:

$\Large p(x) ? 1, q (x) ? 1, a = 0, b = 1. \;\;\;\;\; (1.8)$

Тогда речь идет о задаче
$\Large Au := ?u'' + u = f (x),\;\; 0

Здесь $\Large H = L_2(0, 1)$, а $\Large f (x)$ считается элементом из $\Large H$. Тогда

$\Large D(A) := \{u(x) \in L_2(0, 1): u'' \in C([0, 1]) \subset L_2(0, 1), \;\;\;\;\; (1.10)
\\ \\
\Large \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; u(0) = u(1) = 0 ,\} $

В данном примере множество $\Large D (A)$ состоит из функций $\Large u(x)$, обращающихся в нуль на концах отрезка $\Large [0, 1]$ и имеющих непрерывные вторые производные, т.е. функции $\Large u'(x)$ непрерывно дифференцируемы, а сами функции $\Large u(x)$ дважды непрерывно дифференцируемы. Множество таких функций плотно в $\Large H$, т.е. замыкание $\Large D (A)$ по норме $\Large H$ дает все пространство $\Large H$:
$\Large \overline{D (A)} = H \;\;\;\;\; (1.11)$

Напомним, что нормой оператора $\Large A$, действующего в гильбертовом пространстве $\Large H$, называется величина:
$\Large ||A|| =\underset{0 \ne u \in D(A) \subset H}{sup} = (||Au|| / ||u||) \;\;\;\;\; (1.12)$.