Правило умножения матрицы на вектор - умножение матрицы на матрицу формула - пример

Рассмотрим здесь примеры умножения матрицы на матрицу (вектор).
Во-первых:

Первую матрицу можно умножить на вторую только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы!

Правило для получения элемента матрицы, являющейся результатом произведения матрицы A на матрицу B:

Чтобы получить очередной элемент с координатами (M - номер строки, N-номер столбца) матрицы-результата - необходимо сложить результаты произведений элементов M-ой строки первой матрицы на элементы N-ого столбца второй матрицы

Чтобы было понятнее смотрите примеры ниже.

Умножением матрицы на вектор - пример

Начнём с того, что вектор --- это тоже матрица, просто из одного столбца.
Умножим матрицу на вектор --- запишем вектор слева от матрицы и применим правило указанное выше:

$\Large \begin{pmatrix}
2 & -3\\
4 & 7
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2\\
3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2*2 + (-3)*3 \\
4*2 + 7*3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-5 \\
29
\end{pmatrix} $
Итак в результате умноежния матрицы на вектор мы получили вектор (ветор - тоже матрица):
$ \begin{pmatrix}
-5 \\
29
\end{pmatrix} $

Умножением матрицы на матрицу - примеры

Теперь рассмотри умножение матрицы на матрицу - помним, что число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк во второй матрице (иначе умножение невозможно).
Для начала пример 2 на 2 (2х2):
$\Large \begin{pmatrix}
2 & -3\\
4 & 7
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-5 & 2\\
-1 & 4
\end{pmatrix} =$
$\Large = \begin{pmatrix}
[2*(-5) + (-3)*(-1)] & [2*2 + (-3)*4] \\
[4*(-5) + 7*(-1)] & [4*2 + 7*4]
\end{pmatrix} =$
$\Large= \begin{pmatrix}
-6 & -8\\
-27 & 36
\end{pmatrix} $

Аналогично выполняется уможение матриц 3х3 (размерностью 3 на 3 и других - больших размерностей):

$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 & -4 & 5\\
1 & -1 & 1\\
2 & -2 & 3
\end{pmatrix} =$
$ = \begin{pmatrix}
(1*3 + 2*1 + 3*2) & 1*(-4) + 2*(-1) + 3*(-2) & 1*5 + 2*1 + 3*3 \\
(4*3 + 5*1 + 6*2) & 4*(-4) + 5*(-1) + 6*(-2) & 4*5 + 5*1 + 6*3 \\
(7*3 + 8*1 + 9*2) & 7*(-4) + 8*(-1) + 9*(-2) & 7*5 + 8*1 + 9*3 \\
\end{pmatrix}
=$
$ = \begin{pmatrix}
11 & -12 & 16\\
29 & -33 & 43\\
47 & -54 & 70
\end{pmatrix} $

$\Large 2*2 + (-3)*3 \neq -3$

vedro-compota's picture

$2*2 + (-3)*3 = -5$
Спасибо! даже помню как я считал это действие - помню что считал как 6 - 9 )))
остальное вроде правильно, да?)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Да.

vedro-compota's picture

если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы

эта формулировка правильна.
Просто внимательно изучите примеры выше. Для получения очередного элемента матрицы результата, мы "умножаем" (составляем сумму произведений) строку первой матрицы на столбец второй, НО (!) строка первой матрицы по длине - это число столбцов первой матрицы, а длина столбца второй - это число строк второй.
Потому важно именно чтобы совпадало число столбцов в первой и число строк по второй.

Если бы было иначе - число строк должно было бы совпадать с числом столбцов - и правило умножения было бы совсем другим - . - тогда бы вам пришлось умножить матрицы:
$\Large
\begin{pmatrix}
2\\
3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & -3\\
4 & 7
\end{pmatrix}
$
Используя алгоритм, приведённый выше - вам бы было не на что умножать 4-ку из первого столбца второй матрицы.
И эти два условия (число строк = числу столбцов и число столбцов= числу строк) не эквивалентны в общем случае- эквивалентны они только для квадратных матриц)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)