Лекция 17 - Теория множеств

Лекция 17 – 21 марта 2016

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Теория множеств появилась в 19 веке. Её основоположеником считает Кантор. Когда были открыты парадоксы в теории множеств ввели дополнительный термин «классы». Классы – это вообще всё что можно описать как-то. Так например «множество всех множеств» - называется классом, «собственным классом».

Таким образом речь идёт о классах, среди них выделяются множества. ТО есть такие классы. Которые не ведут к противоречиям (парадоксам) теории множеств.

«Собственные классы» («подлинные классы») – это те классы, которые не являются множествами.
Есть и другие теории множеств. Которые применимы не только к множествам, но и к классам.
Так теорию Геделя-Бернайса, а потом её обобщение – теория Кейля-Морзе.

Далее, существует ещё одна система которая работает с классами – теория типов

Теория типов

Основа Расселом – тоже создано ради избежания парадоксов. Теория типов существует в разных вариантах – например интуиционистская теория типов.

Теория категорий

В теории категорий есть такая категория как множества. Конструкция строится сверху вниз – от общей характеристики категорий. Категория это:

• 1) Объекты
• 2) Переходы между ними (морфизмы)

Вильям Лаер предложил понятие категории, а понятие множества оказывает производным.

До аксиоматических теорий более полувека теория множеств существовала в виде отдельных понятий и доказательств.

Дедекинд первый написал работу, где показал, как через множества перейти к натуральным числам. Он же первый сформулировал аксиомы натуральных чисел. Традиционно же аксиомы натуральных чисел встречаются под именем Пеано.

Логика второго порядка (существование предикатов). Сегодня же аксиомы Пеано исправляются схемами – «чтобы там не было предикатов».

Георг Кантор сначала интересовался рядом проблем в матанализе, но потом открыл целую область исследований – бесконечные множества, многие теоремы он доказывает именно для них.

Стало понятно что, что теория множеств – отдельная область математики. В основном это касается множеств бесконечных. Вслед за этим начала развиваться топология.

Кантор открывает, что множество действительных чисел, больше чем мн-во натуральных. Там он формулирует «диагональный аргумент» (см. учебники функционального анализа – например. Кажется, Колмогоров-Фомин).

Действительные числа – бесконечные непериодические десятичные дроби.
Затем Кантор выдвигает гипотезу-континуума. «нет промежуточной мощности между мощностью натуральных и действительных чисел». Позже было показано что эта проблема не зависит от аксиом теории множеств.

Если мы считаем. Что вся математика базируется на теории множеств (тут конечно аксиомы должны быть более-менее «правдоподобные»). Аксиома выбора – она особенная, если добавить её к аксиомам Цермело-Френкеля (современные аксиомы теории множеств).
Аксиома – взять по одному элементу из всех множеств и построить новое.

Она непредикативна – упоминается объект в определении данного объекта. Отсюда же вытекает теорема Банаха-Тарского – когда из «одной сферы можно сделать точно таких же две» (упрощение, не цитата).
Итак, Кантор ввел диагоналный аргумент. Далее он выводит координальные и ординальные числа (мощности и порядка).
Кантор начинает размышлять про ординалы. Каждому натуральному числу можно в соответсвие поставить ординал.
Кантор постулирует «трансфинитные ординалы» - по сути бесконечные номера. Он начинает рассуждать о том, как эти бесконечные ординалы могли бы следовать за конечными.
Если $\alpha$ - оридинал, то следующий за ним за ним это $\alpha \объедин \{ \alpha \}$.
Так же см. иерархию фон-Неймана (лекция 16)
Синглтон – множество, единственным элементом которого является другое множество.

Большинство авторов соглашались, что если получить натуральные числа, то все остальное здание математики можно вывести через натуральные числа. Полемика свелась к тому, что натуральные числа можно вывести из множеств.
Пеано - итальянец, который записал перечень аксиом о натуральных числах. Идея была такая – нам нужно описать ряд (последовательность) объектов в которого есть 1-ый элемент, этот ряд не закольцовывется и не витвится – и тогда мы скажем, что ….главное отношение – «следующий за».
Сюда обычно добавляют т.н. «аксиомы тождества» - определяется что такое тождество.
Аксиомы Пеано:
1) Ноль – натуральное число (символ которым он обозначается значения не имеет).
2) Берем операцию «следующий за» и если $n$ - натуральное число, то и следующий за ним – тоже натуральный.
3) Для любых двух натуральных чисел – за ними идут одинаковые числа, если сами эти числа одинаковы.
4) Ноль не следует ни за каким натуральным числом.
5) Далее аксиома индукции: описанное множество содержит все натуральные числа – получается с помощью применения к нулю операции взятия следующего элемента S()

Аксиомы тождества :
1) Рефлексивность – сам себе
2) Симметричность - можно переставлять местами
3) Транзитивность – свойство передаётся «через» элемент.
4) Аксиомы тожества применимы к натуральным числам – натуральные числа тождественны друг другу, если они следуют за одним натуральным числом.

Далее вводятся операции с натуральными числами – добавляют аксиомы сложения и умножения.
Умножение рассматривают как операцию выводящуюся из сложения. Ноль оказывается нейтральным элементом по сложению.
+ вводится как получение чего-то следующего за нулём. Так $a = S(a)$

$ (x) + S(y) = S(x + y)$ например: $S(a) + S(0) = S(a + 0) = a$
- Последняя формула не принципиальна. Не парьтесь. Просто помните, что все числа получается в сколько-то «шагов» от нуля. Если интересно проблема аксиоматизации операций и введения особых элементов - смотрите определение группы.
Теоретико-множественные парадоксы:
1) Парадокс-Бура Лефорти – парадокс касающийся ординалов. Там берётся самый большой ординал (множество всех ординалов) – оказывается что оно больше всех, но тогда и больше самого себя.
Подробнее см. предыдущую лекцию. Фреги - логицист, занимался похожими вещами, он из логики выводит множества, а из множеств числа.
Теория множеств начала жить самостоятельно. Были математики которые изучали её – стала развиваться дискриптивная теория множеств.
Эрнстом Цермелло была построена аксиоматика – он написал аксиомы классической теории множеств.
В принципе у нас сегодня нет доказательств непротиворечивости имеющийся теории множеств.
Доказано, что арифметика Пеано непротиворечива, если непротиворечива теория множеств.
Ещё раз о возможном построении иерархии фон-Неймана (задаём натуральные числа через множества):
$\{\emptyset\}$ соответствует 0
$\{\emptyset , \{\emptyset\}\}$ соответствует 1
$\{\emptyset ,\{\emptyset , \{\emptyset\}\}\}$ соответствует 2

Аксиомы Цермело-Френкеля
Обычно их записывают в логике первого порядка.
1) Аксиома объёмности (экстенсиональности): множества тождественны, когда там одни и те же элементы.
2) Аксиома пустого множества: утверждается существование пустого множества, не содержащего элементов.
3) Аксиома пары: если есть два мн-ва $x$ и $y$ ,то можно построить мн-во состоящее только из них ${x, y}$ -- то есть из двух любых элементов можно построить новое множество . Ключевая мысль тут – то что множества могут быть элементами других множеств.
4) Аксиома степени: в множестве всегда существует множество его подмножеств.
5) Аксиома объединения: для любого множества можно построить множество, содержащее все элементы данного (то есть множества можно объединять).
6) Аксиома бесконечности: существует бесконечное множество (не все множества конечны).
7) Аксиома выделения (используется для обхода парадоксов): для любого мн-ва $x$ и любого свойства (предиката) можно построить новое множество (предикат – всыражение языка – некоторое условие, например «быть деревянным») – в том числе пустое.
8) Аксиома замены - здесь ключевую роль играют функции. Звучит так: для любой определимой функции, областью определения которой является мн-во $X$ существует мн-во, элементами которого являются значения данной функции. Предикаты дают на выходе лишь истину или ложь – а потому предыдущая аксиома получается из этой.
9) Аксиома фундамента («аксиома основания»): любое непустое мн-во $A$ содержит минимальный элемент, такой что ему не содержащий других элементов из этого мн-ва $A$.
10) Аксиома выбора (официально не входит в акcиомы CF): если в некоторое множество входят множества не содержащие общих элементов, тогда можно построить новое множество содержащее элементы каждого из подмножеств множества $X$
Предикаты можно рассматривать как функции истинности – множество из значений 0 или 1. Но может быть и более значений – например логика построенная на 3-х ответах – типа («да», «нет», «не знаю»).

Аксиома выбора - вроде бы простая и очевидная, но из неё получаются странные результаты (некоторые). Самый известный пример – теорема Банаха-Тарского.
Исходя из этих аксиом можно определить операции объединения пересечение и т.д., далее с помощью упомянутой выше иерархии фон-неймана можно «вывести» натуральные числа.

Вывод: действительно из классчической теории множетсв выетси числа. Но есть проблема – искусственность аксиом. «Почему это нельзя?» -- не понятно.
Есть три школы:
1) Логицизм – продолжает линию теории мн-в.
Два других направлений вообще отказываются от теории множетсв как основания математики –
Так формализм Гилберта рассматривает …..но этот подход был уничтожен Геделем.
Но понятно, что непротиворечивость теории теории мн-в доказать нельзя (из теоревы Геделя).
Также есть теория категорий, которая упоминалась выше.
В Принстоне под руководством Воеводского (нашего бывшего соотечественника) пытаются построить математику в терминах теории категорий.