К линейно независимой комбинации добавим вектор, который не выражается через них -- независимость сохранится

Утверждение

Пусть у нас есть система (набор) линейно независимая векторов $f_1,.....,f_k$ и есть вектор $a$ (не нулевой), который не является линейной комбинацией данного набора $f_1,.....,f_k$

Добавив вектор $a$ к системе $f_1,.....,f_k$ мы получим снова получим линейно независимую систему:
$$f_1,.....,f_k, a$$

Доказательство

Предположим обратное -- а именно, что система $\{ f_1,.....,f_k, a \}$ линейно зависима, тогда найдутся коэффициенты $A_1,..,A_{k+1}$ (из поля пространства в котором происходит дело), такие, что мы получим нетривиальную комбинацию, равную нулю:
$$ A_1 f_1+.....+ A_k f_k + A_{k+1} a = 0$$

Если $A_{k+1} = 0$, то комбинация оказывается тривиальной (все остальные коэффициенты тоже должны обратиться в ноль для того, чтобы равенство было выполнено, так как система $f_1,.....,f_k$ линейно независима), (получаем противоречие).

Пусть тогда $A_{k+1} \neq 0$ -- но если коэффициент при векторе в линейной зависимом наборе не равен нулю, то его можно выразить как линейную комбинацию остальных векторов, а значит мы можем выразить $a$ через комбинацию $\{ f_1,.....,f_k, a \}, но это опять же противоречит условию, где сказано, что:

вектор $a$ .....не является линейной комбинацией ... набора векторов $f_1,.....,f_k$

Утверждение доказано.