Цикл - такое соотвествие между элементами в подстановке, что если составить последовательность из неповторяющихся элементов этой подстановки, в которой каждый элемент, начиная со второго, определяется как соответствующий предыдущему (соответствие задаётся подстановкой), то окажется, что первый элемент соответствует последнему.
Например, подстановка:
$\begin{matrix}
1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\
3&1&4&8&7&6&9&2&5
\end{matrix} $
Рассмотрим какую-нибудь подстановку, например:
$\begin{matrix}
1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\
3&1&4&8&7&6&9&2&5
\end{matrix} $
(здесь вместо букв со значками, например $\Large x_1, x_2, x_3, ...$, мы просто ставим цифры, $\Large 1, 2, 3, ..$.).
В ней цифра 1 переходит в 3, 3 — в 4, 4 — в 8, 8 —в 2, 2—в 1.
Упражнение 1. Доказать, что все элементы $ J, A, A^2, ..., A^{k-1},$ где $ k$ — порядок элемента $A$, различны.
Доказательство:
Предположим, что в последовательности $ J, A, A^2, ..., A^{k-1}$ найдутся два различные числа $m$ и $n$ - оба
$ A^n = A^m, \,\, m,n < k$
Пусть для конкретности: $ m > n \Rightarrow m - n > 0 $
При рассмотрении определения порядка элемента группы, мы возводили некоторый элемент группы в степень (умножали его на себя $n$ раз)
Вопрос - если возвести элемента в нулевую степень что мы получим? $\Large J$ (единичный элемент) ?
(ведь тогда бы порядок любого элента был равен нулю) Вопрос необхожим для уточнений определения порядка элемента.
