fkn+antitotal

Полное пространство - это пространство, в котором любая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).

Фундаментальная последовательность - такая последовательность, что расстояние между очередными двумя её элементами всегда уменьшается с ростом номера - причём можно найти два соседних элемента (начиная с некоторого номера N), расстояние между которыми будет сколько угодно малым.

пространство с метрикой:
$\Large p(x, y) = \sideset{}{}{sup}_k \big|y_k - x_k\big|$
всех ограниченных последовательностей $\Large x(x_1, x_2, ....,x_n, .....)$, состоящих из действительных чисел не является сепарабельным

Плотность одного множетства в другом

Первое множество называется плотным во втором, если замыкание первого множетсва содержит второе множество

Конкретнее:
Множетсво A называется плотным в B, если:
$\Large [A] \supset B$

Смысл: то есть подразумевается, что любая окретсность точки b из B содержит элемент из A - то есть элементы А сколько угоддно близко приближаются к любому элементу из B.

Дискретная метрика - это такая метрика, которая задаёт измерение расстояния между элементами (x1, x2) по следующиму правилу -
расстояние равно:

• 1) нулю - если x1=x2
• 2) единице - если x1 не равно x2

Ограниченное множество - это множество, целиком содержащееся в некотором шаре:

$\Large M \in R.$

Шаром (открытым) в метрическом пространстве называется совокупность точек, удовлетворяющих условию (p(x, x0) :
$\Large p(x, x0) то есть совокупность точек, "расстояние" от которых до точки x0 (центр шара) не превосходит некоторой величины r ,которая называется радиусом шара.

Задачи из "Элементы теории функций и функционального анализа" - Колмогоров, Фомин

1. + Пример двух шаров и пространства, где шар с большим радиусом содержится в шаре с меньшим радиусом
2. Последовательность вложенных шаров, имеющих пустое пересечение в метрическом пространстве

Задача

Привести пример метрического пространства и таких двух шаров B(x, p1), B(x, p2) в нем, что p1 > p2, и тем не менее B(x, p1) содержится в B(y, p2).

Решение

Возьмём:

извлечь единственную строку без foreach используя PHP PDO можно так:

$row  = $PDOREZ -> fetch();

где $PDOREZ - результат PDO-запроса