матфак ВГУ

Что значит, что два числа $i$, $j$ принадлежат одному и тому же циклу? Это значит, что существует такой $s\in\mathbb{Z}$, $s\ge 0$, что $(i)A^s=j$, то есть мы можем придти к от $i$ к $j$ применяя несколько раз подстановку $A$.

Можно так:

   	/**
	 * Получит время последней модификации файла в нужном формате
	 * 
	 * @param type $filePath - полный путь к файлу на сервере
	 * @param type $timeFormat - требуемый формат - по умолчанию DateTime::W3C
	 * @return W3C_datatime_string - строка содержащая время модификации
	 */
	function getLastModeTime($filePath, $timeFormat = \DateTime::W3C) 
	{
		$result = false; 
		$time = filemtime($filePath); // можно подавить исключение @filemtime()
		if ($time) {
			$result = date($timeFormat, $time);
		}
		return $result;

echo $a, $b; 

(перечисление через запятую) работает швыдче, нежели

echo $a . $b;

(конкатенация)

Случай:

echo $a, $b;

работает быстрее, чем:

echo $a . $b;

по причине того, что во втором случае производится предварительное сложение строк, а только потом их вывод.

Упражнение 4. Можно показать, что всякая перестановка может быть представлена в виде композиции циклов.
Покажем теперь, что циклы, составляющие одну и ту же подстановку (то есть лишённые общих цифр) перестановочны.

Доказательство:

Рассматривается здесь.

Из текста доказательства теоремы:

Пусть $A$ — векторное пространство над полем $K$, снабженное операцией $A\times A\to A$, называемой ''умножением''. Тогда $A$ называют алгеброй над $K$, если для любых $x,y,z\in A, \; a,b\in K$ выполняются следующие свойства:

В доказательстве теоремы сказано:

Подстановка $A$ является элементом [конечного порядка] [конечной] симметрической группы $\mathfrak{S}_n$.
Отсюда получаем, что
$$
\{h\in\mathbb{N} \ | \ A^h(1)=1\}\neq\emptyset.
$$

Вопросы:

Начало этого учебника подробно разбирается здесь.

Скачать: [Чеботарёв Н. "Основы теории Галуа. Часть 1"]

Квадратичная форма по определению имеет вид:
$$Q(x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j,$$

вопрос - что какое именно произведение векторов подразумевается под $x_i x_j,$ ?