Принадлежность двух элементов одному и тому же циклу - определение
Primary tabs
Forums:
Что значит, что два числа $i$, $j$ принадлежат одному и тому же циклу? Это значит, что существует такой $s\in\mathbb{Z}$, $s\ge 0$, что $(i)A^s=j$, то есть мы можем придти к от $i$ к $j$ применяя несколько раз подстановку $A$.
Определение. Будем говорить, что $i$ принадлежит тому же циклу, что и $j$, если существует такой $s\in\mathbb{Z}$, $s\ge 0$, что $(i)A^s=j$.
Свойства
Принадлежность числа циклу является отношением эквивалентности.
Обозначим длину цикла через $k$. Если $s \lt 0$, то мы можем взять вместо $s$ его остаток от деления на $k$.
- Рефлексивность. Действительно, любое число $i$ принадлежит тому же циклу, что и $i$, покажем это:
Доказательство. Мы можем взять в нашем определении $s=0$:
$$(i)A^0=(i)J=i.$$
Получается, что существует такое целое число $s\geq 0$, что
$$
(i)A^s=i.
$$
Предложение доказано. - Симметричность. Пусть $i$ лежит в одном цикле с $j$, то есть $(i)A^s=j$. Тогда и $(j)A^{-s}=i$.
- Транзитивность. Пусть $(i)A^s=j,\ \ (j)A^t=k.$ Тогда $(i)A^{s+t}=k$, то есть $i$ и $k$ принадлежат одному циклу.
Отношение эквивалентности разбивает множество на попарно непересекающиеся классы.
- Log in to post comments
- 25857 reads
vedro-compota
Sat, 12/12/2015 - 17:28
Permalink
Вопрос:
Вопрос:
здесь показано, что, действительно, число $i$ принадлежит циклу, если оно уже ему принадлежит ("очевидность") - то есть после этого рефлексивность уже показана, но зачем добавляется добавлять:
? Ведь это утверждение уже само по себе показывает, что отношение принадлежности оказывается отношением эквивалентности, разве нет?
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Sat, 12/12/2015 - 23:12
Permalink
но зачем добавляется
Да, эту строку лучше удалить отсюда. Но это верное утверждение.
Мы можем взять $s=0$.
Тогда $A^s=J$, где $J$---единица симметрической группы. Поэтому условия определения выполнены:
$$
(i)A^0=(i)J=i.
$$
vedro-compota
Sat, 12/26/2015 - 16:46
Permalink
разве это показывает однозначность?
убрал, а вот дальше:
то есть:
$$
(i)A^0=(i)J=i.
$$
показывает, что цикл числа определяется однозначно? Не очень понятно почему)
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Tue, 12/29/2015 - 23:12
Permalink
Нет. С предложения
Нет. С предложения
начинается новый абзац по другой теме. А в строке
показано, что число $i$ содержится в одном цикле с $i$ (с самим собой).
Этим показана рефлексивность.
Предложение. Отношение принадлежности одному циклу рефлексивно.
Доказательство.
Мы можем взять в нашем определении $s=0$.
Получается, что существует такое целое число $s\geq 0$, что
$$
(i)A^s=i.
$$
Предложение доказано.
vedro-compota
Sat, 01/02/2016 - 20:51
Permalink
понял. добавил
Спасибо, теперь понял. Добавил доказательство в качестве пояснения в основной текст свойств.
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
vedro-compota
Sat, 12/12/2015 - 17:37
Permalink
примечание - существование обратной подстановки
Мой коллега, math2 выше пишет что:
- здесь: $(j)A^{-s} = (j)(A^{-1})^{s}$ - то есть фактически упомянута обратная к $A$ подстановка $A^{-1}$, которая действительно существует для $A$, так как элемент $A$ является элементом симметрической группы.
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
vedro-compota
Sat, 12/12/2015 - 18:13
Permalink
Вопрос 2
Зачем нам уточнение:
?
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Sat, 12/12/2015 - 23:28
Permalink
Будем рассматривать некоторый
Будем рассматривать некоторый цикл $V$ (входящий в нашу подстановку $A$) как подстановку. Если длина этого цикла равна $k$, то и порядок этого цикла (как элемента симметрической группы) будет $k$:
$$
V^k=J.
$$
Пусть $i,j\in V$.
В определении были указаны только неотрицательные степени:
$$
s\geq 0.
$$
Если случилось так, что $(j)A^{-s}=i$ и $s\gt 0$, то мы можем разделить $-s$ на $k$ c остатком:
$$
-s=bk+r, \ k\gt r\geq 0.
$$
Остаток будет неотрицательным числом.
$$
(j)A^{-s}=i
$$
$$
(j)A^{-s}=(j)V^{-s}=(j)V^{bk+r}=(j)V^{bk}V^{r}=(j)V^r=(j)A^r.
$$
Мы получили здесь неотрицательную степень, которую требует наше определение.
Остаётся лишь подробнее расписать, что действие подстановки $A$ на элемент $i$, входящий в цикл $V$ (цикл $V$ входит в $A$), сводится к действию цикла $A$. Здесь мы будем рассуждать так же, как при доказательстве перестановочности: все циклы, входящие в $A$ и отличные от $V$ отображают $i$ в $i$.
vedro-compota
Sat, 02/06/2016 - 19:23
Permalink
почему остаток меньше нуля?
Почему неотрицательным? Ведь:
$-5/2 = -2*2 + (-1), \;\; -1 \lt 0 $
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Sat, 02/06/2016 - 21:48
Permalink
$$-5/2 = -2*2 + (-1), \;\; -1
Это неверное выражение. Из него следует
$$
-2.5 = -5.
$$
Ясно, что при делении -5 на 2 можно записать
$$
(-5)=2\cdot (-2) + (-1).
$$
Но всегда можно найти положительный остаток:
$$
(-5)=2\cdot (-3) + 1.
$$
vedro-compota
Sun, 02/07/2016 - 14:07
Permalink
теперь ясно
ну здесь под дробью (/) я подразумевал деление с остатком =)
Да, теперь вижу. Почему-то раньше я этого не подозревал))
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
vedro-compota
Sat, 02/06/2016 - 19:31
Permalink
Если длина этого цикла равна
Ещё надо бы отдельно выписать определение порядка цикла, а то у нас его нет.
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Sat, 02/06/2016 - 21:37
Permalink
Здесь же речь идёт об обычном
Здесь же речь идёт об обычном порядке элемента группы.
И для цикла этот порядок равен количеству элементов, входящих в цикл.
Я думаю, что ничего другого не нужно.
vedro-compota
Sun, 02/07/2016 - 13:58
Permalink
да, но это показывается позже
да, но про порядок такого цикла в самом учебнике впервые говорится только, когда речь заходит про m-членные циклы. Там же условно "показывается", что, действительно:
Но согласен - отдельно добавлять не будем. Хотя получается что сложно доказать то что раньше, не используя того, что позже (по тексту книги).
_____________
матфак вгу и остальная классика =)