Преобразование - определение
Primary tabs
Forums:
В определении группы все четыре аксиомы говорят о свойствах элементов некоторого множества, при выполнении над ними некоторой бинарной операции.
Именно относительно этой самой операции ("композиции элементов") и определяются - и правый обратный элемент для конкретного элемента множества, и правая единица для всего множества.
То есть -
- берут два элемента из одного (в случае бинарной операции именно два)
- как то их преобразовывают (выполняют операцию)
- и получают некоторый результат (элемент какого-то множества, может того, из которого взяли два исходных элемента, а может и другого)
Вместе "как-то преобразовывают" (пункт 2) можно сказать "строят их композицию" - если рассматривать "чистый математический смысл", то это одно и тоже. В данный момент мы рассматриваем композиции из двух элементов или (что,опять же, то же самое) операции "дейсвующие на" (= "принимающие") два аргумента из некоторого множества.
Преобразование - определение
Будем называть преобразованием такую "операцию" ( = "процесс" = "соответствие"), которая переводит элементы из некоторого множества $\Large X$ в элементы того же самого множества $\Large X$
.
Альтернативное определение:
Преобразованием множества $X$ называется биективное отображение из $X$ на $X$
Далее рассмотрим примеры.
Примеры
Пример 1:
Пусть у нас есть множество $X$ состоящее из конечного числа элементов, скажем из трёх элементов: $ x_1, x_2, x_ 3 $.
Тогда мы можем задать преобразование с помощью следующего соответствия:
$x_1 \rightarrow x_2$
$x_2 \rightarrow x_3$
$x_3 \rightarrow x_1$
То есть мы указали правило (= "преобразование"), по которому каждый элемент из множества $X$ переходит ("преобразуется") в некоторый другой элемент, опять же, из множества $X$
Пример 2:
Пусть теперь множество $X$ состоит из всех целых (положительных и отрицательных чисел), тогда соответствие:
$\Large x \rightarrow x + 1$, где $\Large x \in X$
будет преобразованием, так как если к целому числу прибавить целое, то результат будет целым - то есть результат операции также будет принадлежать исходному множеству $X$
Пример 3:
Пусть множество $X$ теперь состоит из всех вещественных чисел, а преобразование зададим следующим сопоставлением:
$\Large x \rightarrow {ax + b \over{cx + d}}$, где $\Large x \in X$, $a, b, c, d$ - постоянные числа.
Такое преобразование называется дробной линейной подстановкой.
Подвопросы (просьба прокомментировать - ответить):
- Преобразование - частный случай отображения?
- Композиция - это всегда бинарная операция или же бывает "композиция 3-х элементов"?
- Log in to post comments
- 18583 reads
math2
Tue, 01/20/2015 - 10:33
Permalink
СловоПреображение
Слово
считаю здесь неприменимым вовсе.
Преобразование -- частный случай отображения. Ссылка здесь.
В этом контексте композиция -- ассоциативная бинарная операция.
Бинарные операции позволяют строить произведения любой конечной длины.
В случае ассоциативной операции порядок вычисления не важен, иначе -- важен.
В этом смысле можно сказать, что в случае бинарной операции существует композиция трёх элементов.
Существуют также алгебры, в которых операции умножения бинарными не являются.
Существует, например, понятие "тернарная операция".
Что касается фрагмента
то его можно переделать потом. Дело в том, что группу $G$ можно представить как группу преобразований этой же группы $G$.
vedro-compota
Mon, 01/19/2015 - 14:03
Permalink
Слово Преображение считаю
верно) это была опечатка) исправлено.
эм..... а разве $(A * B * C)$ это не композиция $C$ с результатом композиции $A$ с $B$ ?
Это я в том смысле, что да -
но всё же надо понимать, что сама композиция выдаёт "единовременный" результат в нашем случае только для двух элементов.
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Mon, 01/19/2015 - 16:20
Permalink
Биективные операции позволяют
-- это я бред написал.
Я хотел сказать "бинарные операции". Исправлю.
Смысл в том, что есть операции бинарные, а есть -- небинарные, имеющие более двух операндов.
Это конечно так, ведь бинарная операция и определяется для двух "операндов".
Вообще, если ассоциативности нет для конкретного множества с композицией,
то под $(A?B?C)$ может пониматься или $((A?B)?C)$, или $(A?(B?C))$.
Это всего лишь соглашение.
Если у нас есть ассоциативность, то
$((A?B)?C)=(A?(B?C)),$
и о порядке вычислений (или расстановки скобок) (но не о порядке следования множителей) можно забыть.
Поэтому говорят о произведении нескольких элементов в случае бинарной операции.
(Для композиции отображений ассоциативность выполняется.)
Кстати, в программировании, когда дело касается обработки математических выражений,
применяются иногда понятия ассоциативность справа и ассоциативность слева.
vedro-compota
Mon, 01/19/2015 - 17:35
Permalink
Для композиции отображений...
стоп-стоп, у нас же тут как бы к композиция "элементов" рассматривается
- да, конечно, может быть и композиция отображений ( = композиция функций - тогда функции сами расматриваются как элементы, например в сопряжённом пространстве),
но пока мы вроде это не рассматривали - не рассматривали функции как элементы множества.
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Tue, 01/20/2015 - 10:32
Permalink
Это я всего лишь для примера
Это я всего лишь для примера про отображения сказал.
vedro-compota
Tue, 01/20/2015 - 10:42
Permalink
ок. понял.
ок. понял.
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
vedro-compota
Wed, 01/21/2015 - 21:40
Permalink
В определение выше добавлены
В определение выше добавлены три примера. Просьба проверить их и, соответственно, определение дробно-линейной подстановки
По примеру №3 есть такие вопросы:
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Wed, 01/21/2015 - 23:30
Permalink
Опечатки
Опечатки
vedro-compota
Mon, 01/26/2015 - 22:34
Permalink
из конечного числа элементов,
спасибо. исправил
_____________
матфак вгу и остальная классика =)