Правый обратный элемент является и левым обратным элементом - теорема - доказательство

Правый обратный элемент является в то же время и левым обратным элементом для данного элемента группы, то есть - если $X$ - правый обратный элемент, то из $ AX= J$ следует $XA = J$

Доказательство:

Введем обозначение $ XA = B$.
Умножим это равенство справа на $X$ и получим:
$ XAX = BX$, то есть $ X=BX$. (так как $XA = J$, а $J$ - одновременно правая и левая единица группы)
Умножим справа на элемент $ Y$ правый обратный к $ X$ ( то есть такой что $XY = J$) получим:
$ XY= BXY$
Из чего следует, что $ J=B$, откуда в силу нашего обозначения ($XA = B$) получаим:
$ XA = J$,
что и требовалось доказать.