Упражнение 7. Идея док-ва. Чеботарёв - Подмножество группы само группа, если замкнуто относительно композиции

Докажем упражнение 7:

Упражнение 7. Доказать следующее: чтобы убедиться, что некоторая совокупность элементов конечной группы $\mathfrak{G}$ составляет группу $\mathfrak{H}$, достаточно показать, что произведение любых двух элементов этой совокупности тоже принадлежит этой совокупности (дело сводится к проверке аксиом 3 и 4).

Доказательство:
1) Покажем, что в $\mathfrak{H}$ существует единичный элемент:
Возьмём некоторый элемент $A \in \mathfrak{H}$.

В конечной $\mathfrak{G}$ выбранный нами элемент $A$ обладает конечным порядком, следовательно мы не сможем постоянно добавлять очередной множитель в произведение:
$A* A* A* A*...$
и каждый раз получать новый элемент (в том числе в силу конечности $\mathfrak{H} \subset \mathfrak{G}$). Тогда $\exists m,n: m > n$:
$ A^m = A^n$
Пусть для определённости $m > n$ и $m - n = k$, тогда:
$ A^m = A^n$
$ A^m = A^n * A^{m-n} = A^n * A^{k} $
Но тогда $A^{k}$ оказывается правой единицей, то есть мы обнаружили необходимость существования единичного элемента в $\mathfrak{H}$.

Данный пункт можно было доказать ещё короче:

В конечной $\mathfrak{G}$ выбранный нами элемент $A$ обладает конечным порядком

Следовательно, существует такой $k\in\mathbb{N}$, что $A^k=J$.
Следовательно, $J\in\mathfrak{H}$.

2) Покажем, что для $\forall A \in \mathfrak{H} $ $ \exists A^{-1} \in \mathfrak{H}: A*A^{-1} = J$ - то есть что существует обратный элемент:
Снова вернёмся к части док-ва 1) , а именно к записи:
$ A^m = A^n * A^{m-n} = A^n * A^{k} $
Мы показали в предыдущем пункте, что $A^{k} = J$, но тогда и:
$A * A^{k-1} = J$,
а значит $A^{k-1} = A^{-1}$, то есть правый обратный элемент в $\mathfrak{H} $ действительно существует для произвольного элемента.