§8.3 Ортогональный базис. Изоморфизм комплексных евклидовых пространств.

Ортогональным базисом в n-мерном комплексном евклидовом пространстве называется совокупность n попарно ортогональных не равных нулю векторов $ e_1, e_2, ..., e_n. $ Так же, как и в третьем параграфе, доказывается, что векторы $ e_1, e_2, ..., e_n $ линейно независимы, т. е. образуют базис.

Существование ортогонального базиса в комплексном n-мерном евклидовом пространстве доказывается процессом ортогонализации, в точности совпадающим с приведенным в параграфе 3.

Выразим скалярное произведение двух векторов $x$ и $y$ через их координаты $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n $ и $ \mu_1, \mu_2, ..., \mu_n $ в ортогональном нормированном базисе. Мы имеем:
$$ x= \xi_1 e_1 +\xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n \text{и} y = \eta_1 e_1 + \eta_2 e_2 + ... + \eta_n e_n . $$
Тогда
$$ (x, y) = (\xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n, \eta_1 e_1 + \eta_2 e_2 + ... + \eta_n e_n) = \\ = \xi_1 \eta_1 + \xi_2 \eta_2 + ... + \xi_n \eta_n. $$
Выразим координаты $ \xi_i$ вектора $x$ в ортогональном нормированном базисе через векторы базиса и сам вектор $x$. Имеем:
$$ x= \xi_1 e_1 +\xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n. $$
Умножая скалярно обе части равенства на $ e_i,$ получим:
$$ (x, e_i) = \xi_1(e_1, e_i) + \xi_2 (e_2, e_1) + ... + \xi_i (e_i, e_i) + ... +\xi_n (e_n, e_i) $$
или
$$ (x, e_i) = \xi_i. $$

Так же, как и в третьем параграфе, доказывается, что все комплексные евклидовы пространства данного числа измерений n изоморфны между собой.